C.U.CÜt. l.fTKCItAI
d’où il résulte que l'équation
y = Ce"' -f- Ce"'' H- C'e""' etc.
est l’intégrale finale et celle-ci est générale puisqu’elle contient n constantes arbitraires C, C, C", etc. (N° 491).
495. Cas des racines imaginaires. — Si quelques-unes des racines
«J, m', m", etc. étaient imaginaires, l’équation précédente serait encore l’intégrale générale, mais elle renfermerait des quantités imaginaires qu’il est facile de faire disparaître; en elTcl comme ces racines se présentent toujours par couples de la forme et a — b[/ — 1,
on aurait
♦n = a-4-fc(/ — 4, m'=a — 6|/ — 4
et les deux premiers termes de l’intégrale générale deviendraient, en faisant usage des formules symboliques d’Euler,
= e" i {C C) cos 6x -t- (C — C') |/ — 4 sin bx j .
En remplaçant donc C + C et (C — C') j/— ï par deux nouvelles constantes arbitraires A et A', c’est-à-dire en posant
l'intégrale générale prendrait la forme
y = e'’'(.4 cos bx -4- A' sin 6jr) -4- C"e""' -4- etc.
496. Cas des racines égales. — Si plusieurs des racines »i, m’, m", etc., étaient égales entre elles, l’intégrale trouvée plus haut cesserait d’avoir toute la généralité possible puisque , en supposant m = m', il viendrait
ÿ == (C-4- C') e"' -4- C"e"''' -4- etc.,
et comme C -4- C' ne forme qu’une constante arbitraire, on voit que l’intégrale de l’équation de l’ordre n, n’en renfermerait plus que n — 4 , c’est-à-dire une de moins qu’elle ne doit en contenir. Si
CIIM’imE XV.
trois racines étaient égales, l’intégrale ne renfermerait que ti — 2 constantes arbitraires.
Pour compléter dans ce cas l’intégrale, remarquons que, puisque y = Ce”'
est une intégrale particulière, m doit être une racine de l’équation
m" -+- H- Çm"“* -4- Um -j- V = 0;
or, si celle-ci a r racines égales, il faut d’après le théorème sur les racines égales, que ses r dérivées successives soient nullcs, c’est-à-dire que l'on ait
nm""' (n — 1) Pm"”* ■+■ -n U — 0,
n{n — I ) (w — 1 ) (« — 2) Pm'~^ etc. == 0,
On conclut de là que
y — C'xe”', y — C'x'e”' y =
seront autant d’intégrales particulières de la proposée; car en y faisant la substitution, on est conduit à des équations de la forme
C'xe”'(m’' ■+■ Pm''~' -t- Um -t- V)
qui sont évidemment satisfaites. On voit aussi que l’intégrale générale est
y == Ce”' -4- C'xe”' -4- C"x*e”' -4- C^'>x'e”' -4- C,e”'‘ -4- C„e”"'
ce qu’on vérifie en suivant la même marche qu’au N" 494.
.Si l’équation en m renfermait deux couples de racines imaginaires égales représentées par o ± è 1 , en désignant o -4- 6 |/ — 4
par »>i et a — b^/ — 4 par m', on aurait, à cause de la présence de deux racines égales à m et deux racines égales à m',
y = Ce”' -4- C'xe”' -4- -4- C'xe”'' -4- etc.
CALCUL INTKIillAL. 449
ur, si l’on remplace m et m' par leurs valeurs imaginaires, réquation précédente prend la forme suivante ;
xe""(c'e‘"»/^+ ele.,
ou bien en substituant aux quantités exponentielles leur valeur Irigonométrique et remplaçant par les constantes arbitraires D, Df, V, D/" les quantités C C", (C — C") |/^l, C' -t- C'", {C — C")
y — gai gQjj jjj. ^ /y'jj ^ ga, jij, ix fjy ^ iy"x) -A- etc.
Dans le cas de trois couples de racines imaginaires égales, on aurait pour intégrale ,
y = e'" cos bx (C ■+■ Ci -a- C"x') -t- sin bx(D -+■ Dfx />"x*) ^a- etc.
197. Exemples divers. — Appliquons la théorie précédente à quelques exemples :
<f*y rfy
~rr — O -A- 2y = 0 donne m = 2, dx* dx ^
; 1 et y = Ce‘‘' -A- C'e‘.
— 3 ~ -A- 2y = 0 donne m = 1 , m' = 1 , «»" = — 2,
ax’ dx
„ d'xf d‘‘y
-r-^-*-y = 0, et + y — 3 = 0
</x’ ■’ dx* dx* •’
donnent
y = e*' cos^^^x -i- C sin "t* C''®"*,
et
y = (C -A- C'x) cos X -A- (C" -A- C"'x) sin x -i- 3.
CU.U‘1TKE XV.
498. Intégration des équations dérivées linéaires « coefficients variables. Théorème de Lagrange. ■ — Dans ce qui précède, nous avons suppose constants les cocflicicnts de l’cquation linéaire ainsi que le ternie final A'. Lorsque ceux-ci sont des fonctions quelconques de la variable x, ces équations jouissent d’une propriété importante trouvée par Lagrange et qui fait dépendre souvent leur intégration d’un certain nombre de quadratures. Cette propriété consiste en ce que, si l’équation dérivée linéaire générale du N“ 194 privée de son dernier terme .V, c’est-à-dire.
dx" dx"~*
est satisfaite par les n valeurs de g
l’intégrale générale de l’équation linéaire, en rétablissant le dernier terme X, sera, comme dans le cas des coefllcicnts constants, représentée par
yr==Cf-i- Cf C^'-t-etc.;
mais C, C, C", etc. ne seront plus de simples constantes arbitraires ; elles seront des fonctions de x qu’on déterminera comme il suit : en dérivant la valeur de g, on a
C'ÿi
ilx dx dx
..„dr
JC
dC
^"±---^fdi-f'-dx
dC"
dx
etc.
Posons entre les fonctions indéterminées C, C , C" la relation
JC dC „,dC"
En dérivant de nouveau , il vient
dx* dx*
^ dx* ^ ^ dx* ^
d£df
dC flf dx dx
dC" df" dx dx
etc.
CAI.CUL INTA’gHIL.
Posons encore la relation
de df dC df dC" df
et continuons de même jusqu’à ce qu’on soit arrivé à la valeur d'y
de -7- qui sera dx'
dx' dx' dx'
dx
et posons
^ér'f d'-'f
dx dx'~' dx dx'~'
dC" d'-^f" dx dx'~*
A- etc.
de d'-'f de' d'-'f
dx dx'~' dx dx'~‘
de" d'-'f"
dx dx"^ '
-4- etc. -4- X =
Je dis que, lorsque les valeurs de C, C', C", etc. auront été déterminées par les relations précédentes, qui sont en nombre n comme les
coefficients inconnus C, C', C", , y et ses dérivées satisferont à
l’équation linéaire proposée; en effet elle devient par la substitution.
dx' dx' dx'
-4- etc. — A'
