CHAPITRE XV

i/ac"

-4- v'^+ V/‘==0, rZx '

dx' dx"-'

vr=o,

cc qui fait disparaitre tous les termes eorapris dans une même colonne verticale. Pour déterminer les fonctions C, C, C", etc., remarquons

. , ■ J . • . (ic de

<iuc nos n équations renferment les n derivees — > — —

dx dx

de

dx

etc. a

la première puissance et qu’en résolvant, on trouve, Z, Z', Z", etc. étant des fonctions connues de x.

de dC dC"

d’où l’on tire, par de simples quadratures, les valeurs de C, C, C", etc. Comme CCS intégrales contiennent chacune une constante arbitraire, on voit que la valeur de y sera l’intégrale générale, puisqu’elle renfermera le nombre voulu de ces constantes.

191). Deuxième théorème de Lagrange. — Lagrange a démontré une autre propriété des équations linéaires de l’ordre n, d’après

luqiicllc, lorsqu’on connaît m intégrales particulières f, f, f", de

ré<|uation privée de son dernier terme A', l’intégrale générale dé|icnd de l’intégration d’une équation linéaire de l’ordre « — m; en clfct, soit /' une valeur de y qui rend nulle cette dérivée privée du terme A'. Si l’on remplace y par f f udx, le coefficient de J'udx dans la transformée sera visiblement nul par l'hypotbèse faite sur f, et ccllc-ci prendra la forme

dx"' ' dx"~* dx"'^

du

dx

La détermination de y est ainsi ramenée à l’intégration d’une équation linéaire de l’ordre n — 1. Supposons que l’on connaisse une seconde intégrale particulière f. Comme il existe entre y et u la relation y = f f udx, c'est-à-dire, comme on a

si l’on remplace m parcelle valeur dans l’équalion linéaire précédente, celle-ci reproduira identiquement l'équation primitive en 1/ , cl comme celle dernière privée du terme Gnal A' est satisfaite par y = f, il en résulte que

désigné par F satisfait à l’équation linéaire précédente en u, privée

du ternie^ A'. Or on vient de voir qu’on peut dans ce cas, en faisant

U = F f vdx, faire dépendre l’intégrale de l’équation en m, de l’intégration d’une autre équation linéaire en e d’un ordre inférieur, c’està-dire de l’ordre n — 2. Pour chaque intégrale particulière f, f, f",.... connue, l’ordre de l’équation linéaire transformée baisse donc d’une nnilé.

200. Applicatious. — 11 résultcdu paragraphe lOS que l’intégration d’une équation dérivée linéaire complète, est toujours possible, ou du moins ne dépend que de simples (|uadratures, lorsqu’on connaît les n intégrales particulières de l’équation linéaire suivante

dx' dx'~'

dit

or, ces intégrales s’obtiennent facilement (N“ 194) lorsque les cocfTicienlsP, Q,... t',’Vsont constants; on peut donc toujours intégrer l’équation linéaire complète à cocflicieiits constants, dans laquelle le dernier terme A' est une fonction de x.

Afipliquons par exemple la méthode d’intégration du N° 198, à l’équation dérivée

(Fy^

dx^

du

O -4- 2i/ — àx = 0.

dx

En supprimant le terme final, elle est satisfaite par

posons donc

et pur suite

/•==e*, /^ = xe*, p' = er^’-, y = Ce’ -I- C'xe’ -1- Ce"*’ ,

de dC dC" ,

-7- e* -t- -r-xe -I — T- e 0,

dx dx dx