CHAPITRE XV
de de, ^ ^dC" , ^
dx dx ' dx
de de', „ , de" , . „
dx dx ' dx
d'où l’on lire
dx
de'
== xe~
de"
dx
L’intégrale générale est donc
t;=x*-+-^x-h^-+-7>e' — x(l H-x)-+- Zyxc'—^
ou
y = De* Tfxe* h- -+* - x -+- 7 •
201. Intégration des équations dérivées d’un ordre et d'un degré quelconques. — Lorsque les coefficients P, Q, etc. de l’équation linéaire sont des fonctions de la variable indépendante x, on ne peut le plus souvent, obtenir l’intégrale exacte que pour certaines formes et par des procédés particuliers; ainsi pour la suivante
dx'*
ax"
dx""'
, d’--y dx"^’
dy
■px^^qy^O,
si l’on poscy = Cx", on reconnaît qu’après avoir substitué cette valeur, I" devient facteur commun et que l’équation est satisfaite si m vérifie réquation
m (m — 1) ....(iii — n -4- 1) -4- um (m — l)....(m — »t -i- 2) hm (m — 1).... (wi — n H- 3) -4- •• • -h ptn + q = 0.
CALCUI. INTÉGRAL:
Oit si m est une de scs racines. Comme Tcquation est visiblement du degré n, ses racines ni, m', sont en nombre n cly = a:",
y = x"^, y = jc“"... sont autant d’intégrales particulières. L’intégrale générale avec ses n constantes arbitraires est
y = Cx" ■+■ C'x"’ -f- C'x'^' ....
ainsi qu’il est aisé de le vérifier.
Les difllcultés deviennent jilus grandes, lorsque les coefllcients contiennent la variable dépendante y ou lorsque l’équation dérivée cesse d’étre linéaire sans être eoinprise dans un des cas que nous avons examiné précédemment 192). Ce n’est que pour un petit nombre d’équations et par des transformations heureuses que l'on parvient à les ramener à des formes qui se prêtent à l’intégration. C'est ainsi que toute équation dérivée de la forme
dp
rj-p = ^y-p'~*
qui est l’équation de Jacques Bernoully (N° 181) et l’équation
en posant
devient
dx*
dy
étant divisée par ^ ou p et multipliée par dx devient
— + fxdx -I- -l/ydy = 0
dont tous les termes sont intégrables. On en tire
et par conséquent
Cdy e’
y|ydÿ
= dxe
—/fxdx
dans laquelle les variables sont séparées.
