CHAPITRE X
L’équation dérivée
f J \ • d^jc , f . djc » É « V
qui représente la projection des spirales coniques (N° 205), peut être intégrée en faisant d'abord x = u (/ — z), ce qui fait prendre h l'équation dérivée la forme suivante :
puis en faisant (/ — z)^ = w, elle devient
,, .dw ,,
et en éliminant dx entre cette dernière et la valeur de w, wdw H- k*udu — 0.
Une première intégration donne
te* it*u* = C».
En remettant pour w sa valeur, on trouve dz du
dont l'intégrale est
^ — = /C* — it’u*
log C [l — z)‘ = arc sin ^ »
et en remettant pour u sa valeur.
X = — (/ — z) sin log C (/ — z)‘.
ri
./ i — I dz
L’intégration aurait pu encore s’eCTcctuer en remplaçant x par e ^ ^
ou, comme au commencement de ce numéro, en posant x=^l)[l — z)“, ce qui conduit à l’intégrale suivante
X == (/ — 2) [fJ cos log [l — zY -II- Df sin log (/ — z)*]
qui rentre dans la prceûdcnlc en posant
D = C sin log C, D' = C cos log C.
Toute équation différentielle qui est telle que, si Ton y remplace^)
dx
par aÿ, pÿ, la variable y devient facteur commun et disparait, peut être ramenée à un ordre inférieur d’une unité; en effet en posant
>iy
dx
on trouve par des dérivations successives ,
'lï
dx
et SI ion remplace
dx dx*
par ces valeurs, y disparaîtra par
hypothèse, et l’équation donnée se trouvera remplacée par une .équation dérivée en t et x qui sera visiblement d’un ordre inférieur d’une unité à celui de la proposée. Cette circonstance se présente toujours quand l’équation est linéaire sans terme final, et plus généralement, quand les tenues sont homogènes par rapport à y et scs dérivées. Ainsi, en appliquant cette transformation à l’équation dérivée du second ordre
on trouve l’équation du premier ordre
X*-. 2xt -1-1=0.
dx
On rend celle-ci homogène en remplaçant x par pi et l’intégrale devient
5Cx5 = 1 — ôtx.
CUAPITHK \V.
Hii remplaçiint ( par sa valeur tirée de celte dernière équation , dans tdx=~et intégrant de nouveau, on trouve pour intégrale finale.
Considérons encore l’équation dérivée
dy
dx* (o -t- '2bx ex’)*
Posons
y^Ce
- H- ex*
P et q étant des coelTicients constants inconnus, et examinons s’il est possible de les déterminer de manière que cette valeur de y satisfasse à la proposée. On est conduit par la substitution à l’équation de condition
(p -t- qx)* -H (o -H 2bx -4- ex’) q — 2 (p -t- qx) (b -t- ex) = A
dont les deux membres deviennent identiques, en posant
q = r, p=6±p^6* — ac A.
Si l’on remplace p par chacune de ces deux valeurs que nous désignerons par p et p', on aura deux intégrales particulières de notre équation et l’intégrale complète sera visiblement
y=Ce
a -4- Zwx *+- ex*
ç p' H- ex n H- ''Ibx ex*
cuinmeon peut le vérifier par la substitution.
On rend quelquefois intégrable une équation différentielle en changeriiil de variable indépendante ou, plus généraleincnl, en remplaçant X par une fonction choisie convenablement. Alors, d’apres ce qu’on f/u
a vu au N® 27, —-9 devront être remplacés par
il 'In 'Æ__ "l'h
dt dt dt di^ dl dl* dt* ’’ dt
CALCUL liNT^GHAL.
dy d*u
et en substituant, l’équation différentielle contenant^»
dx i/x’
- , du d*y
trouvera transformée en une autre contenant
dl dr
SC
la
fonction <ft et ses dérivées.
On peut aussi éliminer les deux variables primitives x et y et les remplacer par deux nouvelles variables r et ( en posant
<f et étant deux fonctions données. Alors si l’on prend t pour nouvelle variable indépendante,^» devront être remplacés par
dr dt dl dt dl*
dt
d-^ dr dr dl
•Ji
dl
: etc.
1 11 . • • 1 et la nouvelle équation contiendra
ticlles connues de f et <}i. C’est ainsi que les équations
et les dérivées par-
^ dx* dx
deviennent
en remplaçant dans l’une x par cos t et en posant dans l’autre y = rsinf, x = rcosf.
202. Intégration par les .sén'c.s. — Lorsque l’on ne peut parvenir à Iroiiver l’intégi'alc d’une équation dérivée en termes finis et d’une manière complète, il faut avoir recours aux méthodes d’approximation. La plus générale consiste à chercher l’intégrale développée en série
