CHAPITRE XV

infinie, dont les premiers termes, lorsqu’elle est suffisamment eonvcrgente, donnent une valeur approcliée de l’intégrale. Le théorème de Maclaurin est souvent utile pour obtenir ce développement; en effet

étant une équation dérivée de l’ordre n, on en lire dx' dx‘ dx-'-'j

F.n dérivant succcssivementet remplaçant chaque fois donsic second raem

1 d'y , , , ... d’^'y rf"+*v

bre, par la valeur precedente, on obtiendra ~ — , etc. en

dx' ' ^ (ix"+' dx"+*

1*/^ n A# ■ rvn tijy ... *'. i n I*am> A ■ i aaitmima aa 1 vtii Al

fonction dc-r — et dos dérivées inférieures, comme on Ta vu au dx*-'

N° 190; si donc on représente par C, C, C, C"-' les valeurs

dy dhj d"-*y , , .

constantes que prennent y, ■> d~^ quand on y fait x = 0,

par yjjJ ’ \d~~^J ’ constantes que prennent

les autres dérivées lorsqu’on y fait x = 0, valeurs qui se déduisent des équations précédentes et qui seront des fonctions de C, C, C", etc., le théorème de Maclaurin donnera

/d'y\ X* /d"+'ÿ\ , etc.

\dx”/„ I.2.3.../1 \dx*+'y„ 1.2... (n 1)

Il est à remarquer que les n constantes C, C, C, qui entrent dans

cette intégrale sont des constantes entièrement arbitraires; en effet on sait (N" 191) que l’équation proposée a un nombre n d’intégrales premières distinctes de l’ordre n — 1, contenant chacune une constante arbitraire. Si donc on conçoit que l’on ait tiré de ces n intégrales les

, , . , dy d*y d"-'i/ , . , ,

valeurs des N quantités V, -r-^ ; — v en fonction de x et des

* dx dx^ dx*-'

constanlcs, en les substituant dans rexpressioii précédente dc-7-^9

ax**

e’csl-à-dire, dans la fonction /*, celle-ci prendra la forme

la fonction <f ne contenant plus d’autre variable que x. Des quadratures successives de cette équation feraient ensuite connaitre les va-

, , d*“‘v dy ...

leurs de ’ -j—— > y, et comme chaque quadrature intro-

duit une constante arbitraire isolée, il est visible que, quand on fera X = 0, ces valeurs se réduisent à des constantes arbitraires. En les substituant dans le développement de .Maclaurin, qui doit s’accorder avec le précédent, les cocIGcicnts C, C', C",.... sont donc arbitraires. Les équations dérivées

donnent ainsi

U = C -t- C'x -t- aC* —

2a*C’ 2aC'*

lOa’C'C'

y— cl 1— ■ — -4- ■ - , —etc. )-i-C'( X— — — -4- — — — etc. )

-4- O I 1- etc. I .

Cette dernière peut se mettre sous la forme

y = C cos X -4- C sin x — a (sin x — x).

Lorsque pour x = 0, on trouve des valeurs infinies pour les dérivées, comme il arrive dans les exemples suivants :

d*U „ rf’y

i--i-4- 2-t^-4- oxy = 0, x-~=ay, dx* dx ■ ’ dx*

cuAPiinË XV.

on fera usage de la formule de Muclaurin, inodiGce, telle qu’elle a été démontrée au N° 34 du caleul dilTéreiilicl. On sait que si l'on repré-

du d*u

sente par A, d', A" les valeurs que prennent y, etc.

quand on y fait x égal à une constante a et par

dx’J

etc.

ce que deviennent alors les derivees -r^ » , etc., on a

^ dx' dx'+*

fx — al*

y = A -I- /l' (x — a) -4- A’- — h etc.

/^\ (x-g)" /d’*'y\ jx-a)’^' ^

^ \dx’J 1.2....(rt -H 1)

dans laquelle A, A', A", etc. sont les constantes arbitraires. En appliquant cette formule au second des exemples précédents, on trouve pour intégrale,

.„(eLs,.,)î

„ etc

A et A' sont les deux constantes que l’intégrale doit contenir.

CALCL'I, INT^.GIIAL.

La présence de cette indéterminée « est iililc pour rendre les séries très-convergentes; ainsi si l’on ne doit eonnaitre l’intégrale que pour des valeurs de x comprises entre deux limites a et 6 par exemple, si l’on ne doit connaître la forme de la courbe représentée par l’intégrale que dans la partie comprise entre les abscisses a et 6, on prendra

pour a une moyenne entre ces deux limites, ce qui rendra

en général très petit, et en se bornant aux termes de l’ordre et négligeant les termesqiii contiennent^ ^

il viendra

203. Intégration par la méthode des coefficients indéterminés. — La longueur des calculs dans lesquels on est enlraiué fait souvent préférer la méthode des coeHicicnts indéterminés. Prenons pour excm|de l'équation dérivée traitée plus haut

Si l’on pose

A Bx Cx' Z>x* -4- Ex* -4- Fx^ -4- etc.

et qu’on substitue cette valeur de y et celle dc^-^ qu’on en déduit.

dans l’équation proposée, on obtiendra une équation en x seul dont les deux membres sont rendus identiques en posant

Il est visible que, quel que soit le nombre de termes que l’on considère, on aura toujours deux équations de moins qu’il n’y a de coefllcients indéterminés; deux quelconques d’entre eux, par exemple, A et B, restent donc arbitraires, et l’on trouve