CII.U'ITnE XV

En subsliliiant cps valeurs dans le dévcloppcinenl précédent de l’intégrale, on arrive au même résultat que ei-dessus.

Lorsque l'intégrale peut être développée suivant les puissances entières et positives de x, la méthode des cocflicients indéterminés ne présente d’autres diflicultés que celles qui résultent de la longucur des calculs; mais si le développement est impossible sous cette furinc, circonstance dont ou est averti par des contradictions cl des impossibilités dans les équations de condition, ou si la valeur de y ne conserve pas le nombre de constantes arbitraires nécessaire, la marche suivie plus haut a besoin d’étre modifiée suivant les circonstances. Cherchons, par exemple, à intégrer

La méthode précédente conduit à des équations impossibles; mais si l'on fait

IJ = Ux^ -+- Cx'/ -t- 7Jx®' -t- etc.

et qu’on substitue cette valeur dans la pro])osée, on aura

«(„!)(« 2)... — — — 2) Bx<^

•/ (v — 0 (y — 2) (y — » H- 1) Cx' -I- etc.

— pAx^ — pBxi^ — pCx'^ — etc. = O,

équation qui devient identique en posant

d’où l’on lire pour chaque exposant a,p,y, , n valeurs que nous

désignerons par a, b, c, fi,.... et qui sont visiblement les n racines de l'équation du degré n

de sorte que dans la valeur de y il ne pourra entrer que n sortes de termes, les uns renfermant x à la puissance a, d'autres à la puissance 6, d’autres à la puissance c, etc.; si donc ou réunit tons les termes

CALCUL INTÉCnAL. 455

semblables, on voit que la valeur dc]/ pourra se mettre sous la forme

ij = J/a“ -i- .Vx‘ -H l‘r etc.

qui est l’intégrale cherchée, -V, A', P, Q, étant les n constantes ar-

bitraires. Elle n’est qu’un cas particulier de celle qui a été trouvée au N» 201.

204. Construction géométrique des intégrales. — Lorsqu’une intégrale ne doit servir qu’à faire connaître la forme de la courbe qu’elle représente, il est souvent plus simple de construire cette courbe directement'avec l’équation dérivée sans rinlermcdiairc de l’intégrale, comme on l’a déjà fait pour les équations dérivées du premier ordre (iN“ 140). Celte construction est possible théoriquement quel que soit l’ordre de l’équation dérivée, en employant des osculatriies d’un ordre convenable; mais nous nous bornerons ici aux équations du second ordre. On considérera la courbe comme formée d’arcs de cercle, que l’on tracera comme il suit : traçons une suite d’ordonnées équidistantes ap, bp', cp" .... (fig. 43) et prenons un point a à volonté, ainsi qu’une droite at considérée comme une tangente à la courbe en ce point. On se

donne ainsi pour ce point l’i, 1’^ l’équation donnée

la valeur dej^et substituons la dans l’expression du rayon de courbure, ainsi que la valeur attribuée à ^ • Si l'on élève au point a une

ax

perpendiculaire ao sur al, égale à l’expression du rayon de courbure, un petit arc de cercle ab décrit avec ce rayon et limité à l’ordonnée p'b pourra être considéré comme un arc de la courbe chcrcbéc. A l’extrémité 6 menons une tangente bl' à cet arc ab, mesurons les coordonnées du point 6 ainsi que l’inclinaison de bt' sur l’axe des X,

ce qui fera connaître i, y et-— pour le point b et l’on déterminera

rf'iy

comme plus haut la valeur de — correspondant à ce point et par suite,

rfx*

le rayon de courbure bu' ainsi que l’arc bc. Celte opération répétée un certain nombre de fuis, fera eonnailrc approximativement la courbe cherchée. L’équidistance des ordonnées ap, bp' cp".... est nécessaire, parce que le rfx est supposé constant dans l’équation dérivée du second ordre.

Lorsque, par la nature de la question ou par la construction précé-

cnAriiRC XV.

dente, on connaît à peu près la forme de In courbe, on peut souvent faire dans l’équation dérivée, certaines simplifications qui rendent l'intégration possible. Si l’on sait, par exemple, que la courbe à laquelle appartient l’équation

ne s’écarte que très peu de l’axe des X, on en conclura que ^ reste

toujours très petit et peut par conséquent être négligé devant l’unitc, ce qui réduit cette équation à la suivante

facile k intégrer.

203. Intégration générale des équations dérivées simultanées. — Jusqu’ici on ne s’est occupe que des équations dérivées ne renfermant que deux variables, dont une indépendante. Supposons maintenant qu’elles en contiennent un plus grand nombre, dont une seule soit indépendante. Il est évident que pour que cette dernière condition soit remplie, il est indispensable que l’équation dérivée ne soit plus unique, mais qu’il y en ait un nombre égal à celui des variables moins une, c’est-à-dire, que le nombre d’équations soit égal à celui des variables dépendantes. L’ensemble de ces équations se nomme équations simultanées.

Proposons-nous d’intégrer un pareil système d’équations, c’est-àdire, de remonter aux relations finies qui existent entre ces variables, connaissant certaines relations entre leurs dérivées. Ces intégrations sont toujours possibles théoriquement, c’est-à-dire, qu’il est toujours possible de les faire dépendre des théories cx|>osécs jdus haut. La méthode générale consiste à éliminer les variables entre les équations de manière à remplacer celles-ci par un égal nombre de nouvelles équations renfermant chacune la variable indépendante et l’une des variables dépendantes, et à n’avoir ainsi à intégrer que des équations à deux variables. Supposons qu’il y ait deux équations à trois variables (x, g, :), X étant la variable indépendante; admettons aussi que

les dérivées de l’ordre le plus élevé de z soient-; — et - — •. dans les deux

dx" dx'’

CALCl’L I.NTtORAL.

équations. Si l’on dérive n' fois la première et n fois la seconde, on aura, en tout, équations, y compris les deux proposées,

(Iz

qui renfermeront z et scs dérivées depuis , jusqu’à or, comme

(l£ tlx’'*'

entre un nombre » -t- n' -t- 2 d’équations, on peut éliminer n n' -t- 1 . dz d*z d-^-'z

quantités, on pourra éliminer z,~y -r-i — t ;Ctil restera une

dx dx*

équation dérivée entre ;/ cl x seuls. On éliminera ensuite de la même manière les y cl scs dérivées, ce qui conduira à une seconde équation en r et X seuls et ces deux équations à deux variables étant intégrées, tiendront lieu des intégrales clicrcliées. S’il y avait trois équations dérivées à quatre variables (x, ij, z, m), on pourrait éliminer, comme on vient de le voir, entre la première et la troisième, puis entre la première et la seconde, la variable u et toutes scs dérivées. On serait ainsi conduit à deux équations dérivées en (x,y, z) entre lesquelles les variables y et z pourront être séparées, eomnic on vient de le voir. Au lieu de la variable u, on éliminerait ensuite z et ses dérivées. Les deux équations en (x, y, u) résultant de cette élimination, seraient traitées comme les deux précédentes et conduiraient à une équation dérivée en « et x. Les trois équations dérivées proposées se trouveront ainsi remplacées par trois équations dérivées à deux variables chacune, que l’on intégrera comme il est dit plus haut. Prenons pour exemple les deux équations simultanées

di''

ky — x "l—z ’

dz ■

que nous avons trouvées pour la spirale conique(Ca{c«/ diff. N° 03). Les dérivées de ces deux équations sont, après avoir éliminé î^el--> d'x , 1/ ■+■ kx d'y , x — ky

Ln éliminant y entre la première cl la troisième, et x entre la deuxième et la quatrième, il vient