CHAPITRE XV

dont les intégrales ont été trouvées plus haut (N” 201). On trouve de

celle manière qu’en déterminant les constantes arbitraires parla con*

... . . . , . dx , . hr

dition que y soit égal a r pour 2 et x nuis, et que — devienne

an même point, les équations de la spirale conique sont

x=^(< — z)sin ) > y =^(i — 2)coslog

206. Équations linéaires simultanées , à coefficients constants. — La méthode précédente est générale; mais dans les applications, un est presque toujours arreté par la complication des équations finales et par la difficulté de les intégrer. Ce n’est que pour certaines formes particulières des équations dérivées que l’on peut espérer terminer les calculs; ainsi si les équations sont linéaires par rapport aux variables dépendantes et leurs dérivées, c’csi-à-dirc, si celles-ci n’y entrent qu'à la première puissance sans être multipliées entre elles, les équations finales seront elles-mêmes linéaires cl un pourra par conséquent, profiler pour l’iiilégration des propriétés dont jouissent ces sortes d’équations.

Lorsque les équations simultanées sont linéaires, du premier ordre cl à cocificicnts constants, on peut obtenir les deux intégrales d'une manière plus simple; soient en effet les deux équations

dx dx •'

^ H- Cu -f- D’z -Y'

dans lesquelles A, B, C, />,.... sont des constantes et .V, A”', des fonctions quelconques de la variable indépendante x. Multiplions la seconde pur un coefficient indétermiuéu cl ajoutons lu, membre à membre, à la première ; il viendra

(d -V-/1» -V- (B -1- fl'a) -V- (C -A- C» y -4- (» -A- //p) : = A -a- A'sl

ou bien

d;i B -1- /y'ji dz C -a- C'p j I) a- f/a 1 X -a- X'ji dx A -A- -l'ft dx A -A- A- C’’x ) .1 -1- .f'u

r:\i,ri'i. iMtuRAL. 439

Comme le fadeur j* est arbilrairc, on peut le délcrniincr par la coiidilion que

n + -t- ifa

et alors, en representant

y -*'~ç — P®’’ devient

dr t'-+- C'p A'h-A'V dx A *+- A ^ A ~H A IX

que nous mettrons sous la forme

dr -t- mrdx = A', dx .

Cette équation diirércntielle qui est linéaire et du premier ordre, est toujours intégrable cl donne

r = e”"' [f «"‘dx -t- E) ;

si donc, on remplace r par sa valeur, on aura pour l’une des intégrales cherchées.