C-+- cv

Quant ù l'autre intégrale, remarquons que l'équation de condition qui a servi à déterminer la valeur de p, conduit à une équation du second degré et donne par conséquent pour p deux valeurs p et p', dont chacune fournit une intégrale semblable à la précédente. En représentant par m, m', X, A'', les résultats de leur substitution successive dans m et AT,, les deux intégrales seront

D -4- jD'p - , , ,

y 7^ rT ~ = «“ (./ h),

l, ~h i. yi

•flV.

Cu!‘

Si l’on avait trois équations entre quatre variables (x,y,i, m), savoir :

dz

du

A n — + C ~-t- Du -t- Ez -h Eu = dx dx dx •’

uo

CIIAPITIIE XV.

dx (/j

A"^ + B"- + C’'-^+ D"y + F' Z -+- F"!/ = X' dx dx dx

A, B, C, étant des cociTicienls constants et A', A'', A'" des fonctions

quelconques de la variable indcpcudanlc x, on multiplierait la seconde et la troisième parles facteurs indéterminés p et p', puis en ajoutant membre à membre, on trouverait

(/I -t- A'it -t- A"fi)

dy Æ-t-2?'p-+-/î"p ^ C -4- C*p + C'a du D-\- D"ji'

dx'*' A ■¥■ d'p-4- A"ii' dx A .4'p -4- A"ii dx A -4- A'p' -4- A"p'

-V- yj'p -4- yy"p' d -t- /y'p -4- /)"p' j /i -4- A'p -4- A"p'

puis en déterminant p et p' par les deux conditions

B -4- A'p -4- ff"p^ E -4- F'p -4- F' J (' -H C'n -4- C"p' F -4- F'p -4- F"p'

A -4- A'p -4- ^l"p' D -4- Zy'p -4- //'p' A -4- A'p -4- A"p' D /)'p -4- /y'p'

et en représentant par r la fonction

^ Z) + yypt .4- «y ‘ -4- /Xp -4- /ÿ'p'

l’équation différentielle prendrait, comme précédemment, la forme rfr -4- nir dx = A’’, dx

qui aurait encore pour intégrale

r = e”^"' (yA', c"' dx -4- F).

Remarquons que les deux équations qui servent à déterminer p et p', conduisent par l’élimination, à deux équations du troisième degré, l’une

CALCUL L>TLGRAL.

en fl et l’autre en /, comme on jieut s’en assurer, ctdonnent pareonséquent trois sysicmes de valeurs pour ces faetcurs. En désignant par wi', in", m'", r', r", r'", et A',', A',", A','", les trois valeurs des fonctions représentées par tu, r et A',, on aura enün pour les trois intégrales, a]>rès avoir mis pour r la fonction en y, z, u qu’elle représente,

r' = e~"'* (J' -¥■ A’), r" = (/ X/'e”"' dx A’') ,

Une marche analogue fera connaître les intégrales pour les équations simultanées d’un plus grand nombre de variables.

On serait arrivé aux intégrales de ces mêmes équations, en effectuant l’élimination par lu méthode générale (N° 205) et en faisant usage pour l’intégration des propriétés des équations dérivées linéaires démontrées au 1!)8.

207. Cas des racines égales. Dérivation sous le signe. — Lorsque les équations qui donnent les valeurs de p, ja',.... ont des racines égales, la méthode précédente devient insullisantc; car, pour le eas de deux variables dépendantes, par exemple, si les deux valeurs de p sont égales, il est clair que m et m' se confondront ainsi que A', et A'/; les deux intégrales seront donc identiques et n’en formeront plus qu’une seule. Pour trouver alors la seconde intégrale, considérons la première, savoir

y -i — ^ Z — e““' (y A,e"-' dx -t- £) = 0

comme étant une équation en p. Il résulte du théorème des racines égales généralisé et étendu à une fonction quelconque'*’, qu’en géné-

(') Soit /'(rt me fonction qni'lcan(|ue contonnnt (i. Supposons que crile-oi soit nulle pour deux valeurs de p représenti’es par pet p On aura à la fois

/■(p) = o, ai* + a)=ü et comme on a, 0 étant compris entre zéro et l'uniU',

les deux équations deviennent

/•(p) = 0, /-'(p-t-O/OrriO

qui , lorsque les deux valeurs de p sont égales ou lorsque h est nul, se réduisent aux deux suivantes

CIIAI'ITIIK \Y,

ral, si une ûqualion est satisfaite par deux valeurs d’une quantité, la dérivée de eellc équation prise par rapport à cette quantité est aussi satisfaite lorsque ces deux valeurs devienneut égales. Si donc on dérive l’intégrale précédente par rapport h p, on obtiendra la seconde intégrale cherchée. Cette dérivation peut se faire dans chaque cas particulier, lorsque l’intégrale y’A',e"'dx a été trouvée; niais on peut, sans assignera A', une valeur particulière et sans effectuer l’intégration, dériver la fonction par rapport à une lettre jx placée sous le signe d’intégration, opération qui se désigne sous le nom de dérivalion ou di/férencialion sou» le signe; en effet, soit

ff{x, |x)dx

une intégrale indéGnic dans laquelle p est une certaine quantité indépendante de X et comjirisc d’une manière quelconque dans la différentielle f(x, (x)dx; la dérivée par rapport i p de cette intégrale n’est autre chose que la limite vers laquelle tend le rapport

ff(x, P -H A) dx — ff (x, p) dx f [f{x, P -1- /i) — /'{x, fx)]

dx

lorsque h converge vers zéro, et il est visible que cette limite est I — -j’ dx; la dérivée par rapporta fx, de J" f[x, fi) dx est donc

diA

dx, d’où résulte ce théorème : Pour dériver une intégrale

indéfinie qui n’est qu'indiquée, pur rapport à une lettre indépendante de la variable et comprise dans la différentielle sous le signe d’intégration, il faut dériver sous le signe par rapj)ort à cette lettre.

Il suit de la que, si l’on dérive l'intégrale des équations simultanées par rapport à fx, en observant que m et A’, sont des fonctions connues de cette lettre, et que la constante arbitraire E peut contenir ix d’une manière quelconque, on aura pour deuxième intégrale des deux équations simultanées