CD'— CD

xe (yA',c"' i/x -1- E)

-A',xe’"'dx -t-

I du

dE\

CALCUL IM^GHAL.

que 1 on jieut inellre sous celle aulrc forme, en obscrvaiil que — rsl

(ly.

aussi une conslanlc arbilrairc que l'on peul rcpréscnlcr par

Cl y— en (

f/ltl

— j-xf

<Ix

ou bien en remplaçant £ par sa valeur liréc de la 1" inlégrale,

CD'— en {C -V C’y)* '

( n-^IÏy \

KdX, dm \ j

Celle équation est la seconde intégrale des deux équations dérivées simultanées ]iroposées; C et £' sont les deux conslanles arbitraires qu’elles doivent contenir. Pour les équations dérivées contenant plus de trois variables, on suivra une marebe analogue. Si les produits fl'C' et A'n' étaient égaux, l’cqualion qui donne la valeur de y se réduirait au premier degré; mais on sait que dans ce cas lu seconde racine est infinie et les valeurs de m', A'/, cl le coeflicicnl de ; dans la i" intégrale

deviennent

1 —, 1 «le sorte que la seconde intégrale est alors

= e j X'e^' di -4- •

■208. Intégration des équations linéaires simultanées d'un ordre quelconque. — L’intégration d’un système d’équations linéaires simultanées à coclHcicnts constants et d’un ordre quelconque peut être ramenée au cas précédent; car si l’on a

d*z du dz

B + C -f D ^ Eu Fz = X, dx* dx dx

dx* dx*

c'^-f--^-iy^-i-E'g-^F'z dx dx •’

(') Los doux quanlilvs E cl F oui dos valeurs omiéronioiil arliilraircs, i|uoi(|iic F.' soil la dérivée do F,, car on pool ajouler à la funclioii F. lollo oonslanlo absiduo que l’on vcul. sans tnio E’ cosse d'élro la dérivée do E

ciiAPirnE XV.

cil pü>iint

<lz

les lieux équations sont remplacées par les suivantes :

dp dq

n'^-A-Cp -^-lïq + E'y-^ F'z== X',

•lu

qui sont linéaires et du premier ordre à quatre variables dépendantes ,!/> *1 Pt 7- avoir trouvé les quatre intégrales, on éliminera entre

eclles-ci les quantités p cl q, ce qui conduira à deux équations en x,y, z i|iii seront les deux intégrales clicrchées.

CIIAPITIIK XVI.

liilégralion des éipialioiis différciitiollcs rcnfcriiKiiil plu>ieiir$ vai-iablt’s iiid('|i«iidaiitos. — Diiréri'ntiflles tnlalas. Coiidilioiis d'iiiU’graliilité. — liitégratinii d’uni! cqiiatii)ii diirrri'iiliülic totale renfermant plusieurs variables iiidêpemiaiites. — Kvemples d'iinégralion. — Cas où l’énualioii (lilTércntiellc totale ne satisfait pas à la eondition d’intégrabilitd. — Intégration des équations différentielles totales ipii passent le premier degré. — Cas où l’on ne connait qu’une seule dérivée partielle. — Kipiations aux dérivées partielles. Elles ont toujours une intégrale. — Elimination des fonetions arbitraires. — Intégration des équations aux dérivées partielles du premier degré et du premier ordre. — Vérification do l’intégrale. — Exemples d’intégration. .\p|dieations géométriques. — Détermination des fonctions arbitraires. — Intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre et de forme queleonque. — .Solutions .singulières des équations aux dérivées partielles. — Intégration des équations aux dérivées partielles des ordres supeù’ieurs. — Intégration îles équations linéaires aux dérivées partielles à coefririents constants. — Intégration des équations linéaires à coefficients variables. — Intégration par les séries.

’i09. Inti-gration des éiiuations différeiiliellcs renfermant plusieurs ruriahles indépendantes. — Nous considérerons dans cc cha|)itrc des équations dérivées renfcrniiint une seule variable dépendante z et dcu.x variables indépendantes x et tj. Comme la variable dépendante z peut être dérivée par rapport à rime ou l’aiitre des variables indépendantes (x, y), on aura deux sortes de dérivées du pretuier ordre

-j- et que nous avons déjà appelées les dérivées partielles de la

ronetiouZgOu trois dérivées partielles du seeond ordre et ainsi de

OIIAPmiE XVI.

suite. Il se présente trois cas. On peut se proposer de remonter à la ronction primitive, connaissant les valeurs de toutes les dérivées d’un certain ordre, ou lorsijue quelques-unes d’entre elles sont données, ou enfin lorsqu’on ne connaît la valeur d’aucune d’elles, mais qu’une relation entre ces dérivées est donnée. Nous c.xamincrons successiveiiieiit cliacuii des trois cas.

210. Différenliclles totales. Conditions d' intvtjralnlité . — Connuitre les deux dérivées partielles du premier ordre ^ = M, — A’, ou les

Z d^z il^z

trois dérivées du second ordre = -, — t-=S, -r-t = T et

remonter de ces dérivées à la fonction primitive, cela revient évidemment à intégrer les é(|uations düTércnticIlcs totales du premier ou du second ordre

dz= Mdx + .Ydy, d*z^ Rdx* -t- ‘2Sdxdy Tdy*

puisque les fonctions M, ;V, li, S, T ne font qu’occuper lu place des

, dz dz d^z d*z d*z .

derivees partielles -r- » — 7— > -—dans les dilterentielles

<ix (ly dx* dxdy dy'

totales

, dz , dz , d*z , d*z , , d‘‘z , .

dz =-— </x -t- -7- do, d^z =-7-- (IX* -t- 2-7 — ~dxdo -+- -7—7(17*. dx dy-' (fx* dxdy dy^

De semblables équations différentielles ne sont pas toujours possibles,

. . „ -I . dz ,

eest-a-dire que si 1 on attribue a -p- cl -7- des valeurs .1/ et .V qucl-

dx dy

conques, Mdx -+- Ndy pourrait bien ne pas représenter la dillérentielle totale dz d’une fonction z des deux variables indé|)endanlcs (x,^);

car on a vu qu’il doit exister pour cela entre les dérivées ^ et —

(IX dy

la relation

et que par conséquent on doit avoir identiquement

dy ~ dx '

CALCUI, INTÉGRAI..

cündition

inclispcnsahlc pour que les valeurs .)/ et .V de — et

<îy

puissent appartenir à la niéuic fonction primitive. .Si M et ren-

fermaient la

variable dépendante

comme -r- et dij

sont les déri

vées de M et de A' prises par rapport à tous les u et pur rapport à tous

les *, celles-ei deviendraient -7- h — ; — T" **-7 — d b>

dy dz dy dx dz dx

condition d’intégrabililé serait

dM dM di(^ dy dz dy dx dz dx

ou bien en remplaçant et ^ par leur valeur, dx dy

dM ,,dM dN , (/.V

L'équation différent ici le totale du premier ordre à trois variables se présente souvent sous la forme

Pdx ■+■ Qdy -i- Rdz — 0 ;

pour avoir dans ce cas la condition d'intégrabilité, il siiflit de rcmaripier que, puisqu’on peut la mettre sous la forme

dz=^--dx—-dy,

il faut remplacer M et A' par — —et — — et l’on trouve

fl fl

Les équations différentielles totales du second ordre et des ordres plus élevés conduisent à des conditions analogues, auxquelles nous ne nous arrêterons pas.

Le même raisonnement fait voir que quand M, A^, P représentent les valeurs des dérivées partielles d’une fonction u, par rapport à trois variables indépendantes [x, y, z), c’est-à-dire, quand on a

du = Mdx -H Ndy Pdz,

CUAPITBE XVI.

ccUc équation ii’cst possible que si ces fonctions satisfont aux équations (le condition

(LM (/.V (1JM(W dP

dy dx ’ (h dx dz dy

211. Intégration d’vue éf/uation difjéreiitielle totale renfermant plusieurs variables indépendantes. — Pour intégrer le système des deux équations

satisfaisant à la condition d’intégrabilité, ou, ce qui revient au même, pour intégrer l’équation différentielle totale

dz — Mdx -t- Ndy ,

remarquons que

la dérivée partielle ^ ayant été prise en traitant y

comme constante dans l’équation

il faut intégrer celle-ci en considérant x et z comme seules variables; mais la constante arbitraire, au lieu d’être une constante absolue, pourra être une fonction quelconque >' de la variable y; cette intégrale sera donc de la forme

F(x,y,z) étant une fonction connue de [x, y, z). On déterminera ensuite Y de manière que la valeur de^ tirée de cette dernière soit

égale à N. Pour cela on différenciera cette intégrale par rapport à y, ce qui donne

ilY ilF (IFdz ,

t/y dy dz dy

et en remplaçant ~ par A, il vient l/y

(lY

dy-

(IF

CALCm. I.NTÉCRAI.. 441)

C étant une constante arbitraire absolue, puisqu'elle ne peut contenir dF dF

ni X ni y. La function — :V plaeéc sous le signe d'intégration, ne

renferme que la seule variable y , si la condition d'intégrabililé est satisfaite; car, de ce que l'un a

Y ne renfermant ni x ni r, il résulte que l'on a aussi en dérivant par rapport à x ,

dF dF dz dx dz dx ^ '

et en dérivant une seconde fuis par rapport à y,

d*F d‘F dz dz/d^F d^' dz\ dF dH

dxdy didz dy dx \dzdy dz* dyj dz dxdy

Or, si l’on dérive par rapport à x la fonction placée sous le signe d’intégration et qu’on tienne compte de la condition d’intégrabilité

dM d*z d'z

dy dx dxdy dydx’

ainsi que des identités

d*F d*F dxdz dzdx

on trouvera identiquement le même résultat que ci-dessus. Cette dernière dérivée par rapport à x est donc nulle et par conséquent ni la variable x ni la variable z qui contient x implicitement, n’y sont renfermées.

Cette remarque est une nouvelle preuve que l’équation de condition est nécessaire pour que l’équation différentielle ait une in-

dy dx

tégrale et en outre, que l’intégrale existe dès que l’équation de condition est satisfaite.