Exemple» d'intégration. — Prenons pour exemple

(x -t- y) dz -»- (x -t- r) dy + {y -t- z) dx = 0

liG

4j0 chapitre XVI.

qui satisfait à la condition d’intégrabilitc. On a donc

dz y + Z , dz dx

dx + S ^ y

et log (x -H z) == — log (x -I- y) + log Y ou (y h- z) (x -a- y) = Y.

On tire de là

dF „ dF

JJ .-y

et comme il résulte de l’équation différentielle donnée que l'on a

on trouve

dz I -+- Z

dy X -4- y ’

^=2y et y<=y*-4-C;

l’intégrale cherchée est donc

' {y z) [x -k- ij) = y* C ou bien xy -i- x z -4- yz = C.

Comme il est indifférent de prendre x, y ou z pour variable dépendante dans l’équation différentielle totale du premier ordre

Pdx -4- Qdy -4- Rdz = O ,

on choisit celle des trois variables pour laquelle l’intégration est la plus simple.

On arrive d’une manière plus expéditive à l’intégrale toutes les fois que, au moyen d’un facteur commun , on parvient à séparer les trois variables ou à décomposer la différentielle donnée en plusieurs groupes de termes formant chacun une différentielle exacte; on démontre même que, lorsque l’équation différentielle totale satisfait à la condition d’intégrabilité, un semblable facteur existe toujours, quoiqu’il soit souvent difficile de le déterminer. Ainsi dans l'exemple suivant :

(x* -4- y*) (/z = (z — a) (xdx -4- ydy) ,

Ml

en mullipliant par — — > on peut écrire l’équalion diffé-

renlicllc sous cette forme

dz xdx -(- ydy

dont les deux membres sont des difTcrenticIles totales exactes. L’intégrale est

Certaines transformations sont quelquefois nécessaires pour rendre la fonction F introduite par l'intégration, indépendante des deux variables x et z. L’équation différentielle suivante offre un exemple de ce cas. Soit

(2xz -A- z’) dx -H 2yzdy — 2 (x* -t- y’ 6*) dz = 0

qui satisfait à la condition d’intégrabilité. En prenant z pour variable dépendante, il vient

à: yz

dy x’ -t- y* -t- b*

dont l’intégrale est

dans laquelle X représente une fonction de x seul. En dérivant par rapport à x, on a, attendu que z est fonction de x,

JY (x* -A- y’ -A- 6*)* ^ — xz(x*-A- y*-A- 6*) *

dx X* -A- y* -A- b*

dz 2xz -A- z’

et en remplaçant — par sa valeur donnée — ; > l’équation

dx 2 (x* -A- y* -A- b’)

dérivée se réduit à

dX z»

(ix “

i’i'l CilAPlIRE XVI.

d'où l'on devrait par une quadrature, tirer la valeur de A”, quadrature

impossible, parce que la valeur de la dérivée renferme les trois

variables (x, tj, z), quoique l'on soit certain que A' ne doit être fonction que de x seul. Pour lever cette dilliculté, il suflit d’éliminer y ou Z entre cette dernière et la valeur de .V; il vient alors

dX

dx

d’où

dX

-dx, et A'*:

l'intégrale cherchée est donc

xz‘‘ -f- X* ■+• ly*

l’nc marche analogue conduirait à la fonction primitive, dont les trois dérivées partielles du second ordre seraient connues.

21 ï. Cas où l'équation différentielle totale ne satisfait pas à la condition d'intéyrabilité, — Si une équation dilférenliclle totale à trois variables ne satisfait pus à la condition d’inlégrabilité, il faudrait en conclure que cette équation prise isolément et considérée comme renfermant deux variables indépendantes, est impossible, ou en d'autres termes, qu'il n’existe pas de surface jouissant dans tous scs points de la propriété exprimée par l’équation différentielle. Celle-ci ne prend une signification qu'en adinellant qu’elle appartient à un système de deux équations simultanées dont une seule est donnée, tandis que l'autre reste arbitraire; c’csl-à-dirc, que la propriété ne peut subsister que pour une courbe dans l’espace, dont rime des équations est arbitraire. Pour intégrer, on devrait même, à défaut de cette seconde équation, admettre entre les trois variables ou entre deux d'entre elles .une relation quelconque, ce qui permettrait d’éliminer une variable de l'équation dilTércntielIc donnée et rendrait l'intégration possible. L’exemple géométrique suivant éclaircira cette remarque. Supposons que l’on demande l’équation de la surface qui jouit de cette propriété, que si en un point quelconque on mène des tangentes aux sections parallèles aux plans des .\Z et des YZ, les deux sous-tangentes correspondantes soient respectivement proportionnelles à Vij et à l’i du point de contact. On est conduit aux deux équations de condition

nx

dx dy

=; //X OU (it

dz

dx

my' dy

ËALCUL INTEGRAL.

Cl l’équation diiïcrcntielle totale de la surface devrait être de la forme

dz =—dx -A- —du.

my nx

Comme cette équation ii’cst pas une difTércnliclle totale exacte, on en conclut qu’il n’existe pas d’équation primitive à deux variables indépendantes qui y satisfait, c’est-à-dire, qu’aucune surface ne jouit de la propriété indiquée. Toutefois, il en existe une qui jouit de cette propriété non pas dans tous scs points, niais le long d’une certaine courbe qui y est contenue et dont on peut se donner la projection, ou que l'on peut assujettir à se trouver dans une surface donnée; puisque en établissant une relation quelconque entre (i, y, r), les variables x et y cessent d’être indépendantes et l'équation dilTérenlielle précédente devient intégrable. La courbe représentée par cette intégrale et par celte relation est visiblement la courbe cherchée. .Ainsi, si l’on prend pour relation entre (x, y, z) l’équation du paraboloïdc hyperbolique

z = axyy

l’équation différentielle totale devient

dont l’intégrale est

dz — —xdx -I- - udu m

01* ay- 2m 2»

cl cette équation jointe à celle du paraboloïdc hyperbolique détermine la courbe le long de laquelle la surface cherchée jouit de la propriété énoncée plus haut. En éliminant ;, on trouve pour la projection de la courbe sur le plan XY,

qui représente une section conique.

214. Intégration des équations différentielles totales qui passent le premier degré. — Dans les niiincros précédents on ne s’est occupé que de l’intégration des équations différentielles totales du premier degré ou de la forme

dz — Mdx -4- iXdy , d*z = Rdx^ -4- “ISdidy -+- Tdy^

CHAPITIIK XVI.

snlisfaisant uu ne satisfaisant pas aux conditions d’intcgrabilité. Supposons maintenant que la différentielle totale dz, d*z,.... de la variable dépendante z soit élevée à une puissance supérieure à la première. L’équation prend alors la forme

Pdz^-*-Qdy*-¥-Rdx*-*-Sdzdy Tdzdx -v- Udxdy—0, P[d*z)* -h etc. = 0

et est dite du second, troisième etc. degré. Elle ne peut être considérée comme déduite d’une équation primitive contenant deux variables indépendantes (x, y), que si elle s’accorde identiquement avec une certaine équation différentielle totale exacte

dz = Mdx -f- Xdy ,

e’est-à-dire, si en remplaçant dz par la valeur précédente, et égalant à zéro les cocllicicnis de tous les termes semblables, on peut déduire de ces équations do condition des valeurs de M et JV satisfaisant à l’identité

djr d\

dy dx

Mais il est visible que si l’on attribue aux cocfIicient.s P, Q, /},.... des valeurs arbitraires, ces conditions en général ne seront pas remplies et que par conséquent les deux variables (x, y) ne seront pas indépendantes. L’intégrale ne s’obtiendra dans ce cas comme plus haut, qu’en admettant qu’il existe entre ces deux variables une relation que l’on peut prendre à volonté,

f{x,y) = 0, dy = pdx.

Alors l’équation différentielle totale devient, en remplaçant y cl dy par leur valeur.

Pdz^ -+- Qp’dx’ Rdx* -V- Spdzdx -+- Tdzdx -i- Updx* = O,

d’où l’on tirera la valeur de dz qui sera de la forme

dz = ir. dx ,

IK étant une fonction connue de x et z seulement, parce que les y et

les P ou -p- peuver de celte dernière.

les P ou ^ peuvent être remplacés par leur valeur en x. L’intégrale

CAIXCL IMTtGnAK.

jointe Q l’équotion

sera la solution chrrclice.

215. Cas OH l'on ne connait qu'une seule dérivée partielle. — Supposons que l’on ne connaisse qu’une des dérivées partielles ^ cl

posons

Comme cette dérivée a été obtenue en traitant y comme constant, il faut intégrer dans la même hypothèse et considérer la constante arbitraire comme une fonction arbitraire de cette variable ; on a donc pour intégrale complète de

dx

savoir :

F[x,y, z) = <fy,

71/ étant une fonction arbitraire de la variable y seule. Les équations

dz

dx

dz

conduisent aux intégrales

z = ax-i-fy, 2 = v"*"*.y* ■*■ ?!/» r =

Les mêmes calculs conduisent à l’intégrale, connaissant une dérivée partielle d’un ordre supérieur. Par exemple

conduit è

dz ox’

ax' y*x*