xyi/ -4- -If y

4jC ciiapitiie xvi.

ïÿ et Jii/ élaiil (leux fonctions arbitraires de y. De même

donne

ou plutôt

axy

ax*y*

ax‘‘y* 4 '

puisque rfy étant une fonction quelconque de y, f <fydy est elle-mérac une fonction arbitraire y' de cette variable.

216. Equations aux dérivées partielles. Elles ont toujours une intégrale. — Passons enfin au troisième cas et supposons que l’on ne connaisse la valeur d’aucune dérivée partielle, mais que l'on ait une relation entre un certain nombre d’entre elles et les variables (x,y, x), relation que nous désignerons en général par

dz dz d'^z \ dx* dy' dx* ’ J

On appelle encore intégrale, l’équation primitive qui y satisfait et la recherche de celte intégrale fait plus particulièrement l’objet de la branche importante d’analyse qui traite de l’intégration des équations aux dérivées partielles. Avant de nous occuper des dilTércntes méthodes d’intégration, il importe de démontrer à priori qu’à une équation quelconque aux dérivées partielles, correspond nécessairement une équation primitive ou une intégrale avec deux variables indépendantes (x, y], et une variable dépendante z, de la forme

Pour le faire voir, observons qu’une fonction quelconque F en (x, y) peut être conçue développée suivant les puissances entières et ascendantes de X, de sorte qu’on peut poser en général

Z == A -t- Jîx -t- Ci* -I- Dx’^ Pxr Qx’’+> h- etc. ,

dans laquelle A, B, C, D, P,.... sont des fonctions de y seul, et la question se réduit à démontrer la possibilité ilc trouver pour ces

CALCUL INTLCRAL.

cocflicients indéterminés des valeurs telles que z satisfasse à une équation aux dérivées partielles donnée. Or, si l’on lire de l'équation pré-

ccdenle les valeurs de -r- > -7-» — cest-a-dire,

(Ix dtj ilx

ilz

- - = -+- ‘iCx -4- + elr.

dA du

dc ,

-4- -T- x’ -L- etc.

dxfdif

diP

<iy

i) -J— X ’dyi

et qu’on les substitue, ainsi que eelle de z , dans l’équation aux déri vées partielles proposée, préalablement résolue par rapport à 1a déri vée dc l’ordre le plus élevé ou mise sous la forme

Jp+î; / dz dz d*z

dx’’dyi ’ fix’ dy' dt^'

le premier membre sera encore formé d’une série développée suivant les puissances dc x, cl en concevant le second membre, après la substitution des valeurs de z et de ses dérivées, développé de même par la formule dc Maclaurin, suivant les puissances dex, on sera conduit à une équation de la forme

(/■'/' dut