V-. 4- 2.3.... (n -4- l)-p-x -4- etc. = /!' -4. D'x

C'x^-4- etc.

dans laquelle A', ff, C, etc., sont des fonctions connues dc y, de dA d-A du

A, B, et dc — ) y) -r- > etc. Pour que cette équation soit

satisfaite indépendamment dc toute valeur attribuée à x, les deux membres doivent être identiques et il faut que l’on puisse égaler les cocOicicuts des mêmes puissances dc x, ce qui conduit à un certain nombre d'équations dérivées simultanées entre y, les fonctions A,

B, C,.... dc y, et les dérivées de ces fonctions. Or, il est visible que

le nombre de ces équations sera toujours inférieur à celui des fonctions inconnues A, B, C, P, Q, puisque le nombre d’équations

est marqué par le nombre de termes du premier membre, lequel

CIIAI’ITnE XVI.

commence pur lu IcUrc 7'; ces équnlions simultanées sont donc en général possibles et pourront servir à déterminer les valeurs de

P, Q, cl réquatiuii à coeflicients indéterminés posée plus haut

deviendra l'intégrale de la proposée. Observons que, eoniiuc le nombre d’équations auxquelles on est conduit est inférieur nu nombre de fonctions indéterminées .1, li, C, P, Q,...., quelques unes d’entre elles

restent arbitraires et ce nombre est d’autant plus grand que la déri-

vée - — T— est d’un ordre plus élevé. Si l’on avait développé la fonction (txnhji ' ' '

suivant les puissances ascendantes de y, on aurait trouvé que l’intégrale doit renfermer un certain nombre de fonctions arbitraires de x.

Il résulte de la : 4“ que l’intégrale d’une équation aux dérivées partielles renferme toujours une ou plusieurs fonctions arbitraires; 2" que le nombre de ces fonctions est d’autant plus grand que l’équation est d’un ordre plus élevé.

217. Plimimtlion des fonctions iirbitraires. — Une équation primitive renfermant une fonction arbitraire peut toujours être remplacée par une équation aux dérivées partielles du premier degré cl du premier ordre ne renfermant jdus ecllc fonction arbitraire. Soit en effet

l\x, y, Z, yu) = 0

l’équation primitive contenant une fonction arbitraire y d’une variable U représentant une fonction donnée de x, y cl z. On aura, en dérivant successivement par rapport à x cl y et remarquant que z est fonction de rcs deux variables,

(Ix