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f du du dz

dz dx

dy du *

\^dx dz dx

<!fLL(

f du du dz

dz dy

dy du '

Ces deux équations donnent pour-^ et ^des valeurs qui renferment

«X dy

les fonctions arbitraires yti cl mais si l’on v substitue la valeur de

du

tirée de l’équation primitive et qu’on élimine ensuite entre elles le d y

coefficient indéterminé -j- » on trouvera une équation finale de laquelle

CALCUL IfITKOnAL.

dz dz

9 aura disparu et (iiii sera une relation entre les dérivées -r-» cl

dx di/

X, ^ et I, c’csl-à-dirc, une équation aux dérivées partielles du premier ordre dont

est Tinlégrale. Celle équation finale est

dz/dfdu df dii\ dz /df du df du\df du df du

itx\dz dy dij dz / dy\(lx dz dz dx J dy dx dx dy

qui, dès que les fonctions f ci « seront données, prendra la forme

fl.

P, Q, fl représentant des fonctions connues de (x, y, z).

Si la fonction primitive contenait plusieurs fonctions arbitraires les deux équations dérivées partielles tlu iircmicr ordre ne sufliraient pas pour l’élimination et il faudrait sc procurer de nouvelles équations en prenant les dérivées partielles secondes, troisièmes, etc., ce qui conduirait évidemment à une équation finale d'un ordre d'autant plus élevé que le nombre de fonctions arbitraires à éliminer est plus grand.

218. Intégration d^:s éguations aux dérivées partielles du premier degré et du premier ordre. — Passons à l'intégration des équations aux dérivées partielles et occupons-nous d’abord des équations du premier ordre et du premier degré. Leur forme la plus générale est

ou Pp -t- Qg 1= fl,

P, Q et fl étant des fonctions données de (x, y, z). On voit que celte équation est de même forme que celle qui résulte de l’éliminalion de la fonction arbitraire entre

f(x,y,z, yu) = 0,

cl scs deux dérivées partielles (N" 217). D’où l’on peut déjà conclure, par induction, que l’intégrale que nous cherchons, contiendra une fonction arbitraire y d’une certaine fonction « des variables (x, y, z). Pour trouver celle intégrale , observons que l’équation aux dérivées

ciiAprniK XVI.

(lartiellps ayant luiijours uiiu intégrale, est insc|iarablc de l’équation dz !=-■ pdx -t- (jily,

qui n’est autre ehose que la diiïércnticlle totale de cette intégrale. En éliminant q, on fait prendre à l'équation donnée la forme suivante :

Qdz — Rdy -v- p {Pdy — Qdx) = 0 (1).

Il est visible que si nne équation primitive unique en (x, y, z) rend possible l’existence simultanée des deux équations diiïérenticlles

Qdz — Rdy = 0, Pdy — Qdx ■=0 (2)

ou des deux intégrales de celles-ci, cctic équation primitive unique rendra identique l’équation (I) et en sera par conséquent l’intégrale. Or si l’on intègre les équations diiïérenticlles, (2), considérées comme formant un système d’équations diiïérenticlles simultanées à trois variables et qu’on représente par

les deux intégrales'*’, C et C étant les deux constantes arbitraires et l', U deux fonctions connues de (x, y, z), il est visible que ces deux équations primitives qui vérifient (1) ne formeront une équation primitive unique que si U et C sont des fonctions semblables mais du

(') Il est à remarquer que ces deux intégrales existent toujours et peuvent s'obtenir de la manière suivante ; entre les deux équations

Q,lz — Rdy = 0, Pdy — Qdr = ().

on peut éliminer d’une part la variable r et d’autre part la variable z (voir le .\'o 20’i) et celles-ci seront remplacées par deux équations dérivées du second ordre en (ÿ.î) et en (x. y). Kn intégrant chacune une fois, on arrive à deux équations

/ dy\ { dy\ , dy

eontenantrune, ( y, z, j d i 1 autre. ( ' "" ^ remplace —

et par leurs x alcurs 7- et ^ tirées des deux équations précédentes et qu’ensuite tlx R P

on résolve par rapport à C et C”. on sera conduit & deux équations de la forme f{T,y.z) = C, P{r.y,z) = C, c'et-à-dire, aux équations

CALCUL IMTLI.IIAL.

reste arbitraires de V cl de C, c’est-à-dire, si la seconde intégrale est de la forme

qui a évidemment la même signification que la |iremièrc

La condition que C soit une fonction arbitraire de C est toujours remplie par cela même que C et C ont des valeurs arbitraires ; la seule équation de condition nécessaire pour rendre possible la simultanéité des équations (2) est donc

Celle équation primitive est par conséquent l’intégrale de la proposée. De plus eette intégrale est générale, puisqu’elle contient la fonction arbitraire que l’on sait devoir s’y trouver. On est donc conduit à celte règle : On intégrera deux des trois équations différentielles simullanées

Qdz — Rdy — 0, Pdij — Qdx = 0, Pdz — Rdx = 0,

dont l’une quelconque est visiblement comprise dans les deux autres, et si

sont les intégrales résolues par rapport aux constantes arbitraires, l’intégrale de l’équation aux dérivées partielles sc formera en égalant l’une des fonctions f’ ou l'à une fonction arbitraire de l’autre.

£n appliquant les mêmes raisonnements à réqualion aux dérivées partielles du premier degré et du premier ordre à trois variables indépendantes (x, y, u) ,

on démontrera de lu même manière que celle-ci étant inséparable de l’équation différentielle totale

dz ilz

(Iz = -—rfx tlll

t/x di/