CII.IPITRË VVI

si l'on cliniinc l’cquntiun proposée sera satisfaile par les trois éiiiiations

Pdu — /?(/x = 0, Qdit — ltilij = 0, Stiu — Rih = O

oii par leurs intégrales, cl par conséquent toute équation priinitivu tiiiù/ue qui réduira ces trois équations à une seule, sera l'intégrale cherchée. Les trois intégrales étant

l'identité de ces trois équations ne peut avoir lieu que si U et C sont des fonclions arbitraires mais semblables de et de et si IV et C" sont aussi des fonclions quelconques mais semblables de F cl C ou de l' et C . Ces conditions sont toujours remplies pour les constantes, puis(|ue celles-ci sont arbitraires; il sudU donc que l’on ail, en représcnlant par f et •{» deux fonctions arbitraires,

V=?u, U=}\Vi

or, si l’on désigne par F une fonction arbitraire des deux fonctions déterminées U et IF, les deux équations précédentes conduisent à la suivante

puis(|uc dans la fonction y, quelques uns des V peuvent être remplacés par ÿlF. De plus, cette dernière équation rcnierme les deux autres comme cas particulier, |>uis(pie, par cela même (|iic la fonction F est arbitraire, on peut y supprimer les IF d’abord, ;>uis les U.

Comme l'équation V==F{F, IF) est unique, elle forme l’intégrale de l’équation aux dérivées partielles pro|)oséc.

Il est à remarquer que les trois éiiualions différentielles simultanées

Pdu — Hdx = 0, Qdtt — ndi/=s(), Sdu — Rdz = 0

conduisant par l’éliminalion de dx, dij ou dz, aux trois suivantes :

Pdy — Qdx = i), Qdz — Sdij — 0, Pdz — Sdx=0,

il sudira d’intégrer trois de ces six équations, ou trois é<iualions résultant de leur combinaison.

CALCUL INTLCIIAL.

219. Véri/icatiun de rintécjrale. — On peut vérifier que l'équation primitive

r=vf

conduit il l’équation aux dérivées partielles proposée, et en est par conséquent l’intégrale; en effet ses deux équations dérivées partielles sont

(/V dV dz\

dx dz dx dL'\dx dz dx)

dV dV dz d<^/dU dU dz\

dtj dz lÿ dÙ\dtj dz dij)'

et en éliminant la fonction arbitraire on trouve comme au

UL

iV 217,

'du dV du r/1

dy dz dz

dT\ /du dV dU dr\

dyj^^ \dx dz dz dxj ^

du dV dJ^dV

dy dx dx dy

Or U et l'étant les intégrales des équations différentielles simultanées Pdz — lidx = 0, Qdz — ndy = 0, ou d’une combinaison de celles-ci , et les équations

du , du du

dx dy dz

dV , dV , dV ,

— dx + -.-dy — — dz = O,

dx dy dz

étant les différentielles tobles de U=C et de V=C, il est visible (jue dx,dy,dz ont la même signification dans ces quatre équations qui deviennent par l’élimination de dx et dy,

du,, dU„ du „ „ dV dV dV

dx dy ^ dz dx dy ^ dz

CIIAPITRK XAl.

'.(it

Si de CCS deux dernières on lire les valeurs dc^ et -7— pour les

dy fiy

substituer dans (1), on arrive, toute réduction faite, à l’cqualion aux <lérivécs partielles proposée

l'p -h Qq= R.

220. Exemples d’intégration. Applications géométriques. — Cette niélliode d'intégration, appliquée aux équations aux dérivées partielles suivantes

ih dz

dz

dx

.dz

xg—-¥- 1’— = yz,

•' dx dy ^

dz dz

dx dy •'

conduit facilement aux intégrales

■■f(^ay

Prenons encore pour exemple

dz dz

dy dx ^

On en tire les équations simultanées

2ydy — ixdy==adz, '2xdx — 2ydx = zdz, adx-\-zdy==0

dont aucune n’est intégrable séparément; mais si l'on additionne les deux premières, on trouve en intégrant.

2xy = az+-s- C ou (x — y)* — ai— -= C.

CALCUL IMTÉGRAL.

Substituant ensuite dans la X — y, celle-ci devient

2rfy =

et en intégrant.

première, la valeur

— adz