La formule

j ydx — t - F A logu K- À loge -F ... -F C logo

étant réduite, comme nous l'avons dit, au moindre nombre de termes possible, Abel a démontré, par des raisonnements analogues à ceux qui ont été rapportés (1 14), que chacune des fonctions t, u. i> w est exprimable rationnellement

en fonction de x et de/. ‘

Imaginons, en effet, comme (114). une fonction ). telle, que toutes les fonctions t, u, v «v se puissent exprimer rationnellement en X, x et je, X étant une

fonction algébrique et satisfaisant par conséquent à une équation dont les coefficients sont desfonctions rationnelles de x. Nous les supposerons rationnelles en x et en v, ce qui simplifiera le raisonnement.

Soit

l’équation en X, et jx son degré. Supposons, ce qui est permis, que X ne puisse être racine d'aucune autre équation de même forme et de degré inférieur à ji.