DEUXIEME PARTIE
Différentions l’équation
J T dx — / — A logu — B logf — . . . — CIog«' = o.
nous obtiendrons une relation de la forme
où <? est, d’après ce qui précède, une fonction rationnelle de x, y et X, et si celle équation ç = o est satisfaite, l'équation
frJ*= I 4- A logu 4- B loge 4-- . .4- C logce
le sera également. Mais l'équation f = o étant algébrique en )., il suit d’un théorème connu qu'elle sera également satisfaite en mettant au lieu deX une quelconque des
racines de l’équation irréductible V = o, et l'équation (A), où t, u »• sont des
fonctions de x, y et X, aura lieu par conséquent quelle que soit la valeur de X, pourvu qu’elle satisfasse à V = o.
En remplaçant successivement X par les fi valeurs X,, X2 X«. on obtiendra jx
équations de même forme qui, ajoutées membre à membre, donnent
fi jydx =
f, 4- f, 4-. . .4-1^ 4- A logu, u,. . .u? 4- Blog c,v,. . .Vu 4-. . .4- C logu», iv, . .
et, par la théorie des fonctions symétriques, on peut évidemment exprimer le second membre sous la forme
T 4- A logU + B logV 4- . . . 4-ClogW,
^où T, U, V W sont des fonctions rationnelles de x et dey".
12t. Considérons en particulier l'intégrale
■P tir
toute
où P et R sont des polynômes entiers quelconques, y étant égal ici à
fouction rationnelle de x et de y est évidemment de la forme a 4- /S v'R . ou, -si l’on
veut, fj 4- a, /3, rt, 5 étant des fonctions rationnelles de x, l’intégrale (i), si
LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, elle esl exprimable par une fonction explicite, doit être de la forme
rvdx
J Vr ~1>
VR
-P A I og { a -t- ^ y R ) -P 3 1 og ( y 4- i H ) -P . . . -P C I o g ( p -P <r V H ) .
L’équation obtenue en différentiant les deux membres de (a) devant être identiquement satisfaite, et y R n'étant pas par hypothèse exprimable rationnellement, il faut que son coefficient soit nul ainsi que la somme des termes indépendants du radical, et l'on peut, par conséquent, dans l'équation ainsi obtenue, et par suite dans (a), changer y/R en — yR; on aura ainsi
(3) - r^=>l--4 + Alog(«-(»VR) + Blog(y-iVKJ+...,
J vR VK
et, en retranchant membre à membre les équations (a) et .{ 3),
/*Prfx 7$ « p p y R n, y-i-i vrR
J VR V R a- Py/R •/-iv'R
Telle est la forme la plus générale de l’intégrale j lorsqu'elle est exprimable explicitement.
122. Abel a cherché, dans un Mémoire fort élégant, dans quel cas l'intégrale peut se réduire à un seul ternie. On a alors
r?* log-+fys,
,1 VR «r-PVR
oc, /3 et R étant, de même que P, des fonctions entières dt^.r. Posons •
.a-PP/R.
z = log
et — (3 V R
itz 2=
d x -P d 3VRj d x — d ( £ y K )
(«-3VRJ V* + t/(3vR)! -(«4-PV'RJ [rfa-rf(3v«i] *’-£>R
c'est-à-dire
, a «rf (p Vit) — *3 V R d 2
Or
donc
et en faisant
DEUXIEME l'ARTlE. - CALCUL LNTÊGKAL.
! a£ </K -t- i ( a d$ — 3 doc. ) K
“^</x + * (“Sr — ^Ær) R = M’
et par conséquent l'équation
. M dx as — — i N y R
fPrfx . a-t-ôv'R
J VR=,ûg^7R
est satisfaite si l’on prend P = En dilférentiant l'équation
on obtient
X = a' — It ,
d N =: xxdx — </R,
et, en multipliant para,
mdfi = ]>'</« — j ai d i R — a3’</ R, et, en remettant pour a} sa valeur X -+- jS’R,
x</S a N dx H- ip’da R — ixjdïll — a i'// H , et, d'après l'équation qui définit M,
xdS — xfi dx — ji M dx,
, dx d N
|3M = aX x
dx dx '
M i ( dx d N \
