LIVRE PREMIER. - LSTÊti RALES DÉFÎMES ET INDÉFINIES

et, si1 l’on veut que ^-*5oit une fonction entière P,

SD dx d N ?p==a3ï-*!ï Tx"

a ^ doit donc être une fonction entière de x. lin faisant

N = (x -F «J'jx a,)~'. . . (x -Fa,)*-,

tou

donc

\x + fl

un,

doit être une fonction entière, ce qui ue peut avoir lieu, à moins que le produit (x -t- a) (x -t- a, )...(x ■+■ a„ ) ne soit facteur de et, et l’on peut écrire

où a, est une fonction entière.

Or

donc

[* + «)"(x + a,)'...(j + u.)*- = a| (x-F a)' (x h- a,)'. . ,(x + a.)* — fl1 K,

comme R n’a pas de facteurs de la forme (x-F a)’ et que l’on peut toujours supposer que a et jS n’aient pas de facteur commun, il est clair que

et

R = (x -Faj(x 4- o, J. . .(x -F a.) R,,

où R, est une fonction entière, et N est par conséquent facteur de R. En substituant les expressions de et et de R, dans les équations qui définissent M et N, on aura

«;N — fi’R, — i,

M - dH / dp . dx\ B p

N=*,p;fc -M*SF~paï)R,=p’

La première de ces équation.? déterminera la forme des fonctions a,, fi, N et R,, et ccllcs-ci étant déterminées, la seconde donnera enfin la fonction P.

La résolution de l’équation

aJN — (5’R, = r,

où a,, jS, R, et N sont quatre polynômes inconnus, est un problème d'analyse indéterminée algébrique fort élégamment résolu par Abel, et pour la solution duquel nous renverrons à son Mémoire.