CALCCL DIRECT DES INTÉGRALES DÉFINIES

Passage de l'intégrale indéfinie à l'intégrale définie.

123. Lorsqu’on connaît l’intégrale indéfinie d'une différentielle, on peut en déduire l’intégrale définie prise entre des limites données quelconques. Si l’on a

il en résulte

dx = F { x ) C,

dx = F ( b ) — F ( a ).

Cette intégrale représente, comme on l'a dit (a), l’aire comprise entre la courbe dont l'équation est/ = ç (x) et les deux ordonnées perpendiculaires qui répondent aux abscisses a et b.

La formule (a) suppose, bien entendu, que la (onction ? {x) soit déterminée pour chaque valeur de x\ et si, par sa définition, elle comporte plusieurs valeurs, il faut adopter celle dont la dérivée est F (x).

Quant à la fonction F(x), elle doit être supposée continue, car sans cela son accroissement total ne serait pas égal à la somme des accroissements infiniment petits qu’elle reçoit successivement, et la formule (a) serait en défaut.

Cette dernière remarque est fort importante. Elle indique, dans certains cas, le choix à faire entre plusieurs valeurs qui, se présentant ensemble, donneraient pour une intégrale bien définie un résultat en apparence indéterminé.

On a, par exemple, en vertu de la formule (a),

. r*' dx

(3) J = arc lang i — arc tang — i.

La fonction arc tangx est mal déterminée : à une même tangente correspondent un nombre infini d'arcs différents. Les deux termes du second membre de (3) sont donc séparément indéterminés, mais leur différence ne l'est pas; elle représente l'accroissement d'un arc qui varie d'une manière continue depuis la valeur pour

lit DEUXIEME PARTIE- - CALCCT, INTÉGRAI,,

laquelle la tangente est — i jusqu'à celle pour laquelle elle est -t- i . Le premier fie ces arcs a pour expression kn — jji k étant un nombre entier arbitraire: mais ce nombre étant une fois choisi, on ne doit plus le changer lorsque l’arc augmente jusqu’à Ja valeur kit 4- dont la tangente est -t-t. On a par conséquent, sans aucune ambiguïté.

12i. Considérons encore 1,'intégrale

On a évidemment

* sin.r Hx

. i + cWz

sinx/ir i

— = arc tanc •

i -i- cos'x cosx

et par conséquent, en appliquant la règle générale.

/ * sinxrfx i i ,

I , — arr tang • — are lanp — arc tang — y a 1 — arc tans i ,

' i -t- cos'-r 3c eoso p » / p

Pour savoir quel sens il faut attribuer ici aux expressions mal déterminées arc tang (— v'a| et arctangi, considérons la fonction arc tang d’où elles proviennent, et prenons arbitrairement pour x — o

arc tang = arc tang I = -, ■

n coso ° 4

x variant de aéro à la fonction augmente de ~ à et il n’y a aucune difficulté; mais si l’on franchit la valeur x= la fonction, qui représentait un arc dont la

tangente est très-grande et positive, représente un arc dont la tangente est trèsgrande et négative, il faut, par la continuité, prendre cet arr positif et un peu

plus grand que de sorte que x continuant à croitre, on devra, pour x — prendre

arc tang

' = arc langf — fi) = ,