LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

el l’on a enfin

sin xdx i -+- cos’-r

TT

125. Lorsque la fonction intégrale est discontinue et devient infinie entre les limites de l’intégration, l'intégrale définie n'a plus de sens. Dans ce cas, la fonction intégrée j (x) passe elle-même par l’infini; car lorsqu’une fonrlion devient infinie pour une valeur finie de la variable, sa dérivée le devient également. Mais la réciproque n’est pas exacte : la dérivée peut devenir infinie lors même que la fonction demeure finie; l'intégrale ne cesse pas alors d'avoir une signification déterminée.

On a, par exemple.

et cette formule, dont les deux membres sont parfaitement déterminés, reste exacte, lors même que b et a étant de signes contraires comprennent entre eux la valeur zéro de x, pour laquelle la différentielle est infinie.

Si l'on considère en effet les deux intégrales

Jf v-r

tels’ désignant deux nombres positifs, il n'y a pour chacune d’elles aucune difficulté. Lorsque ces nombres tendent vers zéro, les deux intégrales ont respective-

ment pour limites a' et - b' < et leur somme tend évidemment vers

ce qui démontre la formule (5).

dx

126. Lorsque la fonction intégrale F(x) devient infinie entre les limites de l’intégration, l'intégrale définie, somme des accroissements infiniment petits de F (x), n’a plus de signification déterminée et doit être, à moins de définition nouvelle, absolument bannie des calculs et des raisonnements. Il est donc important de savoir décider dans quels cas une intégrale devient infinie en même temps que sa différentielle. La règle suivante est souvent applicable.