I. Cnit, int . I

l’intégrale considérée. Supposons que pour la valeur x — a, comprise enlre a et b, o (j:) devienne infinie, et que l'on ait

’x) restant fini lorsque x est égal à a. Si n est égal ou supérieur il l’unité, les deux intégrales

Ç"Ax)dx

sont infinies toutes deux, et leur somme est infinie ou indéterminée.

Soient en effet a — c et a -t- s' deux limites assez voisines de a pour que, dans chacune des intégrales

/’* 4» ( x 1 dx

f* iji ( x ) dx

xr'

la fonction reste finie et toujours de même signe, et soient M et N les

valeurs maxima et ininima; les intégrales sont évidemment comprises, la première

. /*• <Lx .. /■“ dx

J j — — — et N / .

et la seconde entre

dx

XL IX -«r:

et dans l’hypothèse adoptée, « étant supérieur ou égal à l’unité, toutes ces limites sont infinies.

Si l’on suppose au contraire n moindre que l’unité, les intégrales (6) et (7) sont finies et leur somme ne présente aucune ambiguité.

La même conclusion s'applique à fortiori au cas où, n étant moindre que l’unité.

la fonction «J* (■*) est nulle pour x = «. Par exemple, l'intégrale

i ‘ 1 il.r Ix

a une valeur finie, parce qu’on peut l’écrire

l" X ‘ Ix dx

et comme, quel que soit l’exposant positif k, le produit x‘/x est nul avec x, si l'on prend k qui est arbitraire compris entre zéro et -• la règle précédente est applicable et montre que l’intégrale est finie.

Soit encore

on peut l’écrire

I sin-r </.«• ;

x 1 Isinxilr x‘~

Quelle que soit la valeur positive dci, le produit xA/sinx devient nul avec x, et par conséquent, en donnant à k une valeur moindre que l'unité, on voit que l’intégrale a une valeur finie.

127. Lorsque l'une des limites de l'intégration est infinie, des considérations analogues aux précédentes permettent souvent de décider si l'intégrale a une valeur tinie.

La question ne peut être douteuse que si la fonction intégrée f (x) devient infiniment petite pour une valeur infiniment grande de la variable.

Soit

tjf'x) ayant une valeur déterminée pour une valeur infinie de x. Si l’on suppose qu’à partir d’une valeur x, de x, ij/ (x) reste constamment inférieur à un nombre M, l’intégrale prise entre les limites x, et x sera moindre que

dx x '

et sera par conséquent tinie si n est plus grand que l’unité. Lorsque n étant moindre

DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL, que l'unité, ' jf) a une limite différente de zéro, l’intégrale

fm </{x)dx

est êvidenimeut infinie.