Cille. ÎHt

140. Parmi les intégrales en nombre presque indéfini dont la valeur peut s'ol>tenir directement, nous devons citer comme une des plus importantes et des plus célèbres

Jn ■ +

où m et n sont deux nombres entiers quelconques satisfaisant à la condition m < n, sans laquelle l’intégrale serait infinie.

On a trouvé (24), en supposant./! pair.

, (’x'-'dx i v1 #n(*4 — 1)«. ,

A ) I ■— ss > cos l x' — :

tik — i ' ir

x — cos {ifi — i) -

- arc tang

sin,' îk — il - ‘ n

la sommation s'étendant à toutes les valeurs positives et entières de k moindres n

que -■

Quoique l'intégrale cherchée ait une valeur Unie et déterminée, les différents termes de l’expression (A) deviennent infinis avec x. De là dans le calcul de l'intégrale définie une petite difficulté facile à éluder.

Supposons d'abord que m — i soit pair, aussi bien que n; substituons à l'intégrale cherchée l’expression évidemment équivalente dans ce cas

I l'* x ” 1 tlx

Nous pouvons regarder celte dernière comme la limite de

lorsque h augmente indéfiniment. Or, en substituant à x les valeurs — h et +/i dans l’un des termes affectés des signes logarithmiques et retranchant l'un de l'autre les deux résultaLs, on trouve

ta/, — i mr.

i — a/j cos(a/.

il"-*- A'

i + cos( i k — i ) — i- A' n

et lorsque h devient infini, cette expression se réduit à zéro, comme contenant en facteur le logarithme de l'unité. Les termes de ce genre sont donc sans influence

LIVBE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, sur le résultat. On a d’ailleurs pour une valeur infinie de x

arc lang

x — cos(a<- — i ) ?

n ir

. (air — O jt a sin

et pour x = — «

x — cos(al — ••)-

arc lang , , - "

. air — i j:

l.a différence de ces deux résultats est ir, et l’on a par conséquent

i /*“ x“~‘ dx r ms , . . , r: T • m~ , 3mx

- I - = - V sin a/t — i) — — sin h sin h ■ • +

c'est-à-dire

i'x x"l ilx ri — cosniTt

m — i étant pair, cos ttrx est égal à — i, et l'on a enfin

X* .r m-'dx a* x“~' dx ir

n un n -

1 U. Si l'on pose x" — s, la formule précédente devient

.... ni

et si I on pose — = a,

la restriction imposée aux nombres m — i et n, qui ont été supposés pairs, n'en impose aucune au rapport ™ qui est un nombre quelconque moindre que l’unité, et la continuité évidente de l'intégrale permet de le supposer incommensurable. 142. Si l'on pose dans la formule précédente

az’~' ih = du.

iG.

«Si

elle devient

et en posant ~ — n,

n désignant un nombre quelconque plus grand que l’unité. 143. Si l’on pose

la formule précédente devient

(iG)

On a par exemple

nsin

144. On peut de la formule (i 4 } déduire d’autres conséquences importantes. On a

/■“j- 'd x ("x'-'dx Çmx*-'dx

J, i 1 ■+■ x J0 1 x Jt 1 + x

En posant dans la seconde intégrale du second membre x = les limites de z deviennent i et o, et l’on a

par conséquent (>7)

x*-1 dx i -+- x

x*- 1 dx i -4- X

r°z-dz r»

= r*Li±?rtl*=

x—dx

Cette dernière formule est démontrée, comme celle dont elle est déduite, pour les valeurs positives de a moindres que l’unité. Le premier membre d’ailleurs deviendrait évidemment infini si cette condition n’était pas remplie.