Z U II

et

Simplification de quelques fornutles de réduction.

147. Nous avons calculé un grand nombre d’intégrales indéfinies à l’aide de formules de réduction qui les lient à d'autres intégrales de plus en plus simples, dont la dernière s’obtient immédiatement.

La même méthode est applicable aux intégrales définies, mais on doit remarquer que souvent il est avantageux de faire la substitution des limites dans la formule de réduction elle-même, qui par là se trouve notablement simplifiée.

On a trouvé, par exemple,

px-dx , , px~ ’dx

n | =— X— 1 v i — jr* + ( m — i ) I --= —

On en conclut

x—'dx

et l’application répétée de cette formule permet, lorsque m est entier, de calculer

l’intégrale I • en la réduisant à l’une des deux suivantes :

J a Vi — x'

On trouve ainsi

dx

y i — jr;

x**dx

x'*+'dx V »“

i.3.5 . . . (an — i) jt

LIVRE PREMIER. - INTEGRAI. ES DÉFINIES ET INDÉFINIES. HS. Des (leux intégrales précédentes on déduit aisément

On a

xm dx y i

.r" dx

'x~+'dx y I — x 1

xmdx y ■ — x‘

140. La comparaison des formules précédentes conduit à une expression célèbre du nombre rc, que nous avons déjà obtenue par une autre méthode.

Si l’on pose

xm dx

on a (147)

.)•„ g [i.3.5. . ■ (an — i )~|J ( a» -l-i) .r,.», " ? (3.4.6. . . 2/1)’

Mais le premier membre, évidemment compris entre --- = 1 et — = Jn ~t~

devient égal à l'unité pour une valeur infinie de n; il en est donc, de même du second membre, et l'on en conclut

z ,. |3-4.H. .an)1

2 01 [i.3 5. .. (an — ij]'(an+i)’

c’est le théorème de Wallis.

150. Si dans les formules (1) on pose x — sinf, elles deviennent

la)