an i.3. . (an +i

152. La formule précédente mérite une mention spéciale. C’est en partant d’un résultat qui lui est équivalent, quoique antérieur à l’invention du calcul intégral, que Wallis a été ingénieusement conduit à l’expression du nombre n sous forme de produit infini.

Sa méthode consiste à transformer le second membre de (/}) en une expression dans laquelle il soit possible d’attribuer à n une valeur fractionnaire, et à admettre alors, sans preuve sullisantc il est vrai, que la formule démontrée pour les valeurs entières quelconques de « est par cela même identique et applicable au cas même où n est fractionnaire.

La formule (4) peut s’écrire

I dx{ i~ x’r J O

■>“ i.a 3. . n i» + i i.3.5. ..(an — ■)’

Or le second membre est la limite de

■ik 4- 1 )

lorsque k augmente indéfiniment.