LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

En supprimant en effet les facteurs communs, on réduit le produit à

i __ (aA -I- 3)(ifr ■+■ 5) . . .(jfr 4- 5ii 4- i ) i.i,3. ..n

i.3.5...(an — i) f k -+- i)(/r -t- a). . .(k -H //)'

mais lorsque k devient infini, on a

ik -i-3 ?.k 4- 5 f.k + t.i i + i

et la formule (A) peut être remplacée par conséquent par le second membre île l'équation (5).

En acceptant ce résultat comme applicable au cas où n n’est pas entier, on a, en faisanl n =

, : i 2.4 ■ . .(tk + a; i a k

tlX v’ * — x3 rrr. — ~ — — j — -, — y-z — • • • j

et comme l'intégrale est égale à, f

ir î s j 2 k *k 2 k + t

■i i 3 3 süb — i U+i ii + i'

en supposant, bien entendu, que k augmente indéfiniment.

r* dx

Jo

s’obtient aussi aisément que les précédentes. On a

/dx 1 x a» — 3 Ç dx

(«“ -t- x‘f ~~ (an — 2) a' (rt!-+- x')-' + ( in — 2)n' J (n1 -h x-f-''

et comme le premier terme du second membre est nul aux deutf limites

f* dx 2/1—3 /'x dx

Jo ' («' + *■’)* — (2« — i|»V, '

L’application répétée de cette formule donne

ï. Cale, int .

» (m — 3)(an — 5). . . i r

flw 1 (2» — 2}(lft — 4)’ • 1 1

Si l’on pose x =

cette formule devient

i (in — 3)(an — 5)...| jr

«’* ' (in — i ) ( ?./» — 4 1 • • 2 1

En faisant a= i et supposant que n croisse indéfiniment, cette équation devient, à cause de la formule de Wallis,

(7) / dze-*'-