L’intégrale

I x~ • { a — dx,

Jo

dont nous aurons à nous occupfer dans le cas général, se calcule très-aisément lorsqu'un des nombres m et n est entier.

Remarquons d'abord que cette intégrale est une fonction symétrique de m cl de n. Si l’on pose en cilét i — x=y, elle devient

— I /"'(i— y*T dy= I '(|— yT ' dy.

On peut donc changer les lettres m et n l’une dans l’autre sans altérer le résultat, et si l’un des-exposants est entier, il est permis par conséquent de supposer que ce soit celui de x.

Cela posé, on a

r .j . , ti — x)“xm~‘ m— i /* .

jxm~'dx( i — x)“ — 1 ~ h — - — J x“~ ■’ { i — x ' dx,

et par conséquent, m — i et n étant positifs,

J x“~ 1 dx ( i — x )■- 1 = ~J x^’dxft — x)’.

Puisque m est supposé entier, l’application répétée de cette formuje ramènera l’intégrale à

x'r*' 'dx —

et par conséquent

iio)

et cette formule ne suppose pas que n soit entier. D’après la symétrie remarquée, on a aussi, lorsque n est entier et quel que soit m,