LIVRE PREMIER . - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

Intégrant par parties la seconde intégrale du second membre, remplaçant dans la première sin’x par i — cos’x, réduisant les termes semblables, et remplaçant

enfin dans les termes intégrés x par les limites o et -> on trouve

cos— ’x sin nx dx =

Si l'on suppose m = n, on en déduit

->)Jo

cosmx sin /lt dx

j cos— ’ J O

x sinmjr* dx =

163. L’inlégration par parties autrement dirigée peut fournir une autre formule de réduction pour l’intégrale

Jcos’xslnnxrfx.

On a, en considérant sinnjrrf.r comme une différentielle exacte,

/, , eosnx m C . ,

cos"x sinnx dx — cos’x | cos"~'x smx cosnxrfx,

et, en remplaçant le produit sinx eosnx par sinnx cosx — sin (n — i) x et réduisant les termes semblables,

(m -+- n)J*cosmx sinnx </x = — cos*x eosnx 4- m |"cos* 'x sin(n — i)xrfx, d'où l’on déduit

cos* x sin nx dx —

- f cos— 'xsinfn — i )xdx.

S Jo

L’application répétée de cette formule donne, en supposant n = m et m entier et positif.

cos*x smmx

dx — [ a 4 h -j 4- • • • 4- — J •

164. La même méthode de réductions successives s'applique à un grand nombre d’intégrales, dont il est bon de citer quelques-unes.