LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

IGG. Les intégrales

cos,0^'xr/x.

I e COS* X (ijT

s’expriment moins simplement. On a (82;

Ç . . e~“" cos*~'x (n sinx — m eosx) n{n— i) Ç ...

i <.-»*,.os "xdx— — ! h ! ( e-“ 'eos—’xtfx,

J n'4-ni‘ m’+n'J

par conséquent

. ni n'n — î) /"* .

I e~“COS*X<l.ï— -r ; H I e“*'COS" ’xdx,

«1 «’ + HVo

et l’application répétée de celte formule ramènera l’intégrale à l’une des deux suivantes :

Jf^OC

/»ee

Jo

e~m,cosx dx =

ni’ + i

On a ainsi

f%-“cos’”xrfx = - f - T -p- ^1- — ■ - - I

m’ m,(nt’ + 4) m’Ini’ -+-4) • .[iw' + faw — a)*]-!

|,"*'i.2"t~ i.a.3.4 **" + 1.2.3. . . ( un — i) an J’

e-nt cos '“'■'xdx — — — -

ni ( m’ -f i ; ( ni- ■+- 7 ) . . . [ ni' + |J» + i)'j

ni'(m!-*-i) .|/n’-t-(an — i)!j |

On pourrait obtenir le même résultat en remplaçant la puissance de cosx par la somme qui ta représente (I, 385],

2**—l cos“x = cos2/ix +in cos(an — a)x + ••• +

1 2n(jn - i).,.(»+i]

a^cos'^'x = cos(an -4- i)x -+- (an -1- ijcosfan — i)x + • • ■ 4- ■ ■ — cosx;

et comme on a

COS hx dx —

on retrouvera les formules équivalentes aux précédentes. Si l'on prend pour limites — ~ et -+- l'intégrale

fé-"cos'x <Ix

peut se déduire aisément de la même formule de réduction. On a

f e— “cos — — ( e~"“cos "-'xdx\

et comme on trouve directement

COS X llx

<** m: mr

'T "V a cos liyp. —

«IÎT

2 sin hvp.

mr

on en conclut

e— * coswx dx — — ‘ " ** — ; — t-— — \ e ' — e * ),

Ât

/ mtr m»’

. .(aw H- t) T..-T

. «.fm* -4- (2/1 ■+■ i )*1 '

e~" cos,,+l x dx — ■ — — -

167. Lorsque dans l'intégrale j e~mjcosnxdj:, on remplace m par m\ — devient

j" (cosnurcosl‘jr -+- y — i sin ma: cos*x) </x.

i , elle