LIVRE PREMIER - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

donc enfin

. ... r Irdr t. .

Si l'on pose x=sin?, cette formule devient

ît

/ sin </ç = — - li.

Celle dernière intégrale pourrait d'ailleurs s’oblenir directement. On a (I, 382)

^ /4sin2^ ? — — ^coso ■+■ ^ cosa? + . ..Y

En posant - ;=ï,

Or on a donc

/ sinx = — /a — cosax — -■ rosix — - eostîx — . . . .

I cosamx(/x = o;

J/sinx</x= — | /a</x = — ~/a.

O Jo 1

La formule (i 8) permet d'obtenir l'intégrale plus générale

I cosamx /sinxrfx = —

où m désigne un nombre entier quelconque, et que l’on démontre immédiatement en intégrant les deux membres de (iB) enlrc les limites zéro el après les avoir multipliés par cos amer.

On a

X'5 - *Uj =, + )/!+

et comme ( 1 tt-i )

I tlx ( tx )*=:{— i)*. i .s. 3... n,

C'dx't . 3.

c'est-à-dire

(ïo)

vo

Si dans cette formule on fait a — m y'— 1 , (9 = /iyl-i, elle devient

1 Ar — eosn Ix ■+■ - 1 (sin/n Ar — sin n Ix j ^ ^ 1 -t- m y — 1

et, en séparant les parties réelles et les parties imaginaires (I, 370),

(IX — - f , »

n Ix ,

dx = arc Langm — arc tangn.

Si dans la seconde de ces formules on fait m = o, on a

” sinn Ix ilx

cos/n Ix —

/’ 1 sin m Ix —

— = arc langn.

Toutes ces formules pourraient d’ailleurs se démontrer directement sans l’intervention des imaginaires en développant les fonctions placées sous le signe d’intégration en série ordonnée suivant les puissances de x.

» -.se — I a

• X ) Ix

- (Ix.

On a, en remplaçant — 1 — par son développement,

' X -=jr*-'-x-«— (x« — x‘-«) + (x«+‘ — x1-*) -.. ,

et par conséquent, en ayant égard à la formule (aoj,

Jo t‘

i -4- x ) Ix i — *

I Xlx-hX) ,'g + 4 I. ■ . (2 — » ) ( 4 — g)... (i -«)ji + j)(3-i)(3 + «)...