I-UCOSX+ j1 [i — a

P sinx

nx tang ^xdx - 22 COSX 4*

On a, quel que soit l’entier n,

tang - x = a (sinx — sinix •+■ sin3x — . . .)=fc et l’on en déduit, en raisonnant comme précédemment,

/sinx tang - xdx

i — urosr + i' (i-ea)

En ajoutant cette formule à la précédente, on a

i — îacus-r a' I — a‘

résultat compris dans la formule ('38).

On a

sln‘x</x

a cus.i — x ) ; i — ii eosa- -r ,5 )

sin’x

( i — aacosx -+-a’)( i — » p eus x-t £’) i — aacosx -t- a

(sinx4-^sinax+^,sin3x + . . ),

et par conséquent, en ayant égard à la formule (4°J.

sin'arfa

(| — 5*COSX + «')(l — tjicosx + fi1) - . 1 3t ,3 -H. . .) a(,aj5)‘

a et (3 étant, bien entendu, plus petits que l’unité. >

• 93. / - J — / fi — aa cosiwx 4- a1).

Jo («-t-a1) '

On a, en supposant a plus petit que l’unité,

H i — 2 a COS ma 4- a') = — a (

D’ailleurs (189;

a cos ma -t — cos a ma 4- — 00s 3 ma- H

donc

/ /( 1 — sjcosra.r + l! a*

47) / r. - — — rfa = — r««— — T: — e-M— . ..= t/i — «e-J.

Si dans celte formule ou fail a = i et a — — 1 successivement, et que l’on retranche les résultats obtenus, on trouvera

On a

Jl sin — ma

C I cos - ma

/ —-±~dx=r:i Ü£— ,

Jo 1 4- a' 2 2

//tang-ma

- * -dx=~l ■

f * rfa

J o ( < -I- a-1 ) ( 1 4- a a cos ma 4- a’ )

— , = ,{1 — 2a cosma 4- aa’cosama 4- . . .);

par conséquent

!3,) Jo (. 4- a* ) { i -f- ^ cosma + *•; = 7- *< (j “ '“*-+** jj «-* + • • •

~ 2(1 — a') (1 4- ae""”) "

mJ. ir-«n

x sin mx ilx

)(i ■+■ 2aC0S»ix + «’)

On a trouvé (l, 386)

« sinmx

i •+• a * cos wi+«’

x sinmx — a’sinamx + x’sin 3«ix — .

par conséqucnl (190)

- . i xsinmxrfx K , . ,

5a | ... — - = — lae~m— a’e",, + x'e

. L i -t- x- , (i ■+• a et cos mx + a' ) u

Ja (H-j'Jli + aatusmx + a') ■xx

19G. I sin»w"<Mr.

e~** étant plus petit que l’unité, on a

et de même

eXX e

Mais, lorsque k est positif,

(K) / e~u lllltx dx =

Jo * + O*

par conséquent

sm/nxrfx— > -4- > i

„ **•« e-!t* "[(JH — t J ÏT — a]'-+- ni' — [(an — i)rr -4- «]'-+- »r

n devant recevoir toutes les valeurs entières et positives.

Mais on a trouvé (1, 408)

e" ■+• e~m + 2 cosa f f\m' “lf 4nrl 1

a{f+cbs«r ~ L' + (- - a)J L1 +(- +«)‘J

En dilTérentiant les deux membres par rapport à m, après avoir pris les logarithmes, on trouve

em — e e*H- a eus a

s a e m <M((3a - i ; z a j* •+■ m* **é[{2n — i)ïïH-«J**f W*

siri mxdx —

n* S.— K* 2 e"+ 2COSÛ + tf"

où il faut supposer a<r, afin que la formule (K) soit applicable lorsque k-=a—Ti. En remplaçant dans celte formule m par a v-“~i * elle devient

'■ (e— + e— )( e’ * — e **) . slna

eus Z + cosu

cl en remplaçant ensuite a par m y — i

I —>■ cos mxdx

En faisant m = o, on a

'aligna

(55) / e dx = —

Si dans la formule (53) on fait a — o, elle devient

sins

c"+2 cos a -f-

( st»)

et eu faisant a = n

Çm sin mxdx i *"—#■* i <-J— «

Jo e*x-e-*

f/J Slll <nx —

ÎC-r 3 iN ;«

197. Développons les deux membres de l'équation (56) suivant les puissances de m. Nous aurons (1, 388), en remarquant que

ih m