II. m
1, JL. i. 4.O.O
LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES F.T INDÉFINIES, et en égalant les coefficients des mêmes puissances de m
x'-‘~'dx __ î”— i
198. Les formules des paragraphes précédents ^permettent de calculer des intégrales analogues, dans lesquelles figure en dénominateur sous le signe f la somme de deux exponentielles.
Si, en effet, on remplace successivement dans (53) a par a + ^ et par a — ~ > on trouve, en retranchant l'une de l’autre les équations ainsi obtenues,
si il nu dx -
î(e* — e~m) sinn e~ -F a cositt -t- e
On déduit de (54). par un artifice semblable.
cosmx dx —
(e"+ e~m) cosa e”-t- acosaa -t- e-**
En faisant m = o dans les équations (Go) cl (5i), on trouve
Ç dx-—
1 *£ *£ CüS <z
Jo e 1 -f e 3
dx = - lang - x.
Jo * *
En faisant dans (6i)
e ~ =m, et dans (Ga) e~
trouve
(" r*— z— dz r. mr
/•'!-+ s~m dz r. 1
J,, s ~ xn mi r
’ cos
an
En faisant n = -,
m = a ? on a
1 dz = r. cot a *.
Jo 1 - «
xn
on
On peut de cette formule déduire la suivante, déjà démontrée (141;,
(66) l" — '+.-r.~- dx = -JL- .
J0 i ■+• x sinarr
Dans la formule (65). remplaçons z par et a par î, nous aurons
(t>7) I i — i/j=-cot-nK;
en mettant i — a au lieu de a
f - — -J-A=- Ja ‘~s 2
lang -■ ar.\
et en ajoutant les formules (67) et 68) (6g)
ce qui équivaut (144) à
f' Z--'+2"‘ </z= -JI,
Jo 1 + 3 Smart
/** z— ' dz rr
Ja 1 -t- z — sinar
aisée à calculer directement, est égale à
i’*’1 dx
1 — A costr — B sinj’
y'! — A'— îf’*
en supposant toutefois que A3-)- B5 étant moindre que l'unité, le dénominateur de la différentielle ne devienne jamais égal à zéro. Si A et B désignent des constantes imaginaires, la formule est-elle encore applicable et quelle est la valeur de l’intégrale?
Le développement en série est nécessaire pour distinguer les différents cas.
Soit
A=:a +af y — ', B = A 4- A' v/ — 1, le dénominateur ne s’annulera que si l’on a en même temps
a cosx -f A sin* — 1, a' rosx + t/sinx - o.
c’est-à-dire
