I. Cnte, int. I

i . DEUXIÜMB PARTIE. - CALCUL INTEGRAL,

effet pour différentielle fl, 1 14 (*)) f(x) dx, et la fonction primitive de celte différentielle, dont rien ne limite la généralité, représentée par une surface bien déterminée, existe par conséquent dans tous les cas. L’ordonnée fixe qui limite la surface étant indéterminée, on peut, en la déplaçant, ajouter au résultat une constante arbitraire. Il est évident d’ailleurs, à priori, que si F (ar) a pour différentielle ^(x)dx, F (a?) -i- C a la même différentielle quelle que soit la constante C. Aucune autre fonction d’ailleurs ne partage celte propriété, car deux fonctions dont la différentielle est la même diffèrent par une constante.

2. La fonction dont la différentielle est ;:x'j dx se nomme Y intégrale de q(x)dx\ on l’indique en plaçant le signe la gauche de la différentielle:

(i) J<j[x)dx

désigne ainsi, d'une manière générale, toute fonction de x dont y i.r) dx est la différentielle. Ce signej" n’est autre que la lettre S, initiale du mot somme, et

l’expression ( i) se lit : somme de f(x] dx. Ce nom et cette notation rappellent un point de vue important sous lequel l’expressiou peut être considérée. L’intégrale étant considérée comme on vient de l’indiquer, par l’aire d’une courbe, elle est évidemment la limite de la somme des rectangles infiniment petits inscrits dans cette courbe, dont l’expression analytique est, en désignant par a la première abscisse,

(a) o[<t)dx -+- o ( a dx ) dx -+-?(«- 1- %dx)dx + + — ij dx] dx,

n étant un nombre entier tel, que

a 4- ndx = x .

On peut d’ailleurs être conduit à cette expression sans aucune considération géométrique. Soit F(x) la fonction dont yi x)dx est la différentielle; lorsque .r varie d'une valeur quelconque x h la valeur voisine x + dx, l'accroissement de F a,-) est (I, 46), en négligeant les infiniment petits du second ordre, y {x)dx; or en faisant passer la variable de la valeur a à la valeur a -+- ndx = x par des accroissements successifs égaux à dx, la somme des accroissements successifs de la fonction sera l’accroissement total, c'est-à-dire la différence F x — F [a . Cette expression se nomme l'intégrale définie de y .r u/a- prise entre les limites a et a-,

(*) Nous indiquons ainsi, dans tout le cours de IV volume, |sir I, le renvoi au tome t", le clntfre placé .1 la suit» indiquant I» paragraphe incoque.