LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

et l’on écrit

(3) [%[x)dx = F(*)-F(«).

Il importe de remarquer que dans l'équation (3), la lettre .t qui sert de limite supérieure à l’intégrale et celle qui figure sous le signe I sont entièrement dis-

tinctcs et indépendantes l’une de l’autre. On peut leur donner des noms différents et écrire

f ?(x)rfx = F(Aj— F(<i),

F(x) désignant toujours la fonction primitive de f (x). On a évidemment d’après cela, quelles que soient les lettres x et z,

J ?(x}rf.r —J <j i[z)d:.

et une intégrale définie n'est pas une fonction de la variable par rapport à laquelle on intègre.

3. FfxJ désignant toujours l’intégrale de si 'x)djr, la formule

ne suppose nullement la limite supérieure b plus grande que la limite inférieure a: le premier membre est la somme des accroissements infiniment petits de F {x) lorsque x varie de la valeur a à la valeur b : peu importe que les accroissements désignés par dx soient positifs ou négatifs. On a d’après cela, quels que soient a et b.

et, en renversant les limites d'une intégrale définie, on change le signe du résultat.

4. Il faut, dès à présent, signaler un cas important dans lequel les définitions précédentes sont en défaut, c’est celui où entre les limites de l'intégration la fonction primitive F(x) devient discontinue, ce qui a lieu en général lorsqu’elle passe par l'infini. Il n’est plus permis, dans ce cas, de regarder l'accroissement total comme la somme des accroissements infiniment petits correspondants aux accroissements successifs de la variable. La formule générale que nous avons donnée pour exprimer l'intégrale ne représente dans ce cas ni l’aire de la courbe.

ni la somme des accroissements de la fonction. Pour bien faire comprendre cette remarque imporlante, supposons que la fonction F(x) soit égale à — elle a

pour différentielle et la formule générale donne, en adoptant pour limites — i et + i , entre lesquelles est comprise la valeur zéro,

,lx

-NM-iL-

^ ^ j et ( — ^ désignant ce que devient — ÿ lorsqu'on y suppose a* égal à i ou b — i; on aurait donc

' li-r

L’élément — est cependant toujours positif, et la courbe dont l’équation est

a la forme suivante

dont l’aire totale comprise entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses — i et -t- i ne peut évidemment pas être égale à — a. La formule employée n’est donc pas applicable et nous en avons dit la raison.

Si l’on demande quelle est l’expression de l’aire totale qui d'après la règle générale serait représentée par

il est aisé de voir qu'elle est infinie. Si l'on considère en effet les deux intégrales

tétant un nombre positif très-petit, l’application delà formule générale ne pré-