I . Cale. Int . al

Ces modules sont respectivement

/<j’4- a'' + b ’ 4- b ’’ 4- aA M /a' 4- d' 4- b’ +- b’' — a A

et puisque A est positif, c'est le second qui est le plus petit. Le module de C' est donc moindre que l'unité; celui de C peut être plus grand ou plus petit que l'unité suivant des cas qu'il faut distinguer.

Le produit des carrés des modules de C et de C' est

i + #, + «'1 — an (a* 4- <i'’4- 6*4- A'1 )’ — 4 A’

i 4- n‘ 4- n'1 4- a n (i+n, + n'l+jn)'

On a, par conséquent,

et l’on voit que suivant que A sera plus petit ou plus grand que n, aJ4-^l',4-^>,4-6', sera en même temps plus petit ou plus grand que i + n' + n'1, cl, à fortiori, a1 4- a’2 4- ê’ 4- b'* 4- a A plus petit ou plus grand que i 4- ri 4- n'a 4- an, et le module de C est par conséquent plus petit ou plus grand que l’unité, suivant que A est plu3 petit ou plus grand que n. Mais on a

et par suite

»*—«'■= i — a' 4- n" — b' 4- 6'*, nn‘ — ad 4 - bb'\

d'où l’on conclut, à cause de la valeur de A1,

d'où résulte que A est plus petit ou plus grand que n, suivant qu’il est plus petit ou plus grand que et la condition cherchée est par conséquent la sui-

vante :

Le module de C' est toujours moindre que i;

Celui de C l’est seulement lorsque ab' — ba' est plus petit que Le

module de C' étant moindre que l'unité, on a, dans tous les cas,

I Ce*'*-1

LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, et, suivant que le module de C est moindre ou plus grand que l'unité,

! — i = Ce**'-1 4- C,e"v'=i

i — Ce*'-1

et par conséquent, lorsque (ait' — a'bf est plus petit que a’' 4- b ", on a n — n' yJ—>

i-(a+«' y — i )’ cosx — (b 4- 6' /—T sinx

= i + Ce***1 4- Ce’**'-’ 4- ... 4-C'e-*vc; + C' +....

Mais

‘ dx — o, el o

par conséquent, dans ce cas,

<"> .Cr--,

Si l'on a au contraire on doit écrire

g—tkiy/-< rfx — o;

dx Jïï air

,\ cosx — B sinx — „ n' ~ y, — A1— B‘

( <ié' — ha’ )’>«’’ 4 b’’,

n — n' y — i A cosx — B sin j

et dans ce cas

, /,”T dx

^ i — A cosx — B sinx —

On voit, par cet exemple, combien, avant d'employer les développements en séries, il importe de s'assurer de leur convergence.

200. Presque toutes les intégrales définies précédemment obtenues par le développement en série ont été choisies parmi celles dont l'intégrale indéfinie correspondante n’est pas connue explicitement. Le développement en série peut s'appliquer élégamment à d'autres cas pour simplifier les calculs ou l’expression du résultat. Nous en donnerons un exemple emprunté au Cours d'Analyse professé par

ai .

IGl DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL. INTÉGRAL.

M. llermite à l’École Polytechnique. Cherchons l’intégrale

Ç+' F(x)rf*t

où Ffx) désigne un polynôme entier quelconque. Les réductions successives indiquées (63j montrent que l'intégrale indéfinie est de la forme

fF (ri* , : . l' llr

y (x j étant un polynôme entier en x et A une constante. On en déduit évidemment

K r ’ il. t A Ç+' d* ,kyr

et toute la question se réduit à déterminer la constante A.

Or cette constante, facile d'ailleurs à calculer directement dans chaque cas, est égale au terme constant dans le produit de F(x) par le développement

il i .3 i

i .3.5. . .(an — i) i 2.4 . . . an xm

Reprenons en effet l’égalité

C F(x) </x .• r dx

et développons dans les deux membres, suivant les puissances décroissantes de x, les fonctions placées sous le signe intégral, ainsi que le terme algébrique f f.r) y 1 — x1; il faudra pour cela les écrire sous la forme

y I — x’ X V — IX *' '

?(x)\fl — *’=XtT-l 9(x) fl— ~i} > - ' -

F 'x; étant supposé de degré u, on aura

a sc

ot.„ a’,... étant des constantes.

Kn multipliant les deux membres par — et intégrant, on formera le déve-

Xy'— 1

loppement deJ'F'X'^Jr sous forme d’une série contenant dans un nombre fini de termes les puissances positives de x, un terme de la forme — * Ix, et des termes

en nombre infini contenant les puissances de -• Le produit f(x) \ i — x‘ traité de la même manière donnera un développement purement algébrique, et l'intégrale

A | — =r(i — x’) ’ donnera pour premier te

algébriques; en sorte qu’en égalant les coefficients des deux termes logarithmiques, on aura

rmc Ix, tous les autres étant

c'est précisément le théorème énoncé, dont la démonstration directe résulterait d’ailleurs aisément des formules (63).

201. Plusieurs intégrales se transforment en séries par décomposition en un nombre infini d’intégrales partielles, dont les limites embrassent, à elles toutes, l’intervalle compris entre celles de l’intégrale cherchée.

Soit, par exemple, à chercher

sin.r </x

On a évidemment

y’*sinxrfx y'*sinxrfx /’J*sinxrfx r}”sin xrfx

Jo " * ~Ja ^ ~ +Jx * + J, , r

Si l’on pose

on aura

Jf*’"’1 ' sinxrfx /*it — sinr ^

(,«-.)/ * ~Jo (»»-»)*+/

et, en posant x = (an - i)n —y,

sin r ,ir ç- sin rdr x Ja ( an — i)n — y'

par conséquent

sinxr/x . , / i i i i \

O X J0 M"-> -y ~ IH -y + 3jT— ' ÿ 3n 4-/ H )’

c’est-à-dire (I, 409)

/'*s(nxf/x i /** . i , /** . i , Tt

X — — = Ï X un« ; rtr = X «»* ï rrfr= ; •

La formule précédente déjà obtenue (179), el que nous retrouverons par d’autres méthodes, peut se rattacher à la formule

- = a si » \

, sin3s sin5o \

donnée {I, 382). Soit en effet f = dx, on a

— idx

Isindx sin3r/x sin5</x \ dx 3 dx + 5rfx

Le second membre est la somme des rectangles inscrits dans la courbe dont l'équation est

smx

et ayant pour hase idx. La somme de ces rectangles est évidemment, lorsque dx est infiniment petit,

'*x sinx dx

x cosx dx

On a évidemment

i'x cosx dx f’ T cosx dx /*4* cosx dx

Çx cosx dx /*’* cosxrfx cosx dx /*• "

Jo a'+x< ~Jn a'+x> +Xt ôr;î:^î‘"1 fX«,

Mais en posant

ni — COSjr dx

f cosxrfx cosrdr

Jjfl, fl’H-x' u“ 4- (a«iT+y)'-'

et, en posant x= (an -I- a) c — y

.(in-t-o)* cosx dx

* ccsxdx /»’* rosrrfr «’ + *> — fl'-t-[(an ■+■ a)* —

par conséquent

/•(i*-*-»'* eo3xJx , /•» cos ydy i cos> ilr

J,** a' + x< ~ij0 «'+(i«- + r flM-liB + aJs— yf'

/** cosx rlx

» J0 <^"C0S-,r[a, + /'* a’ -*-(a7î-i-j*)’ + a* + (»* — yf

On en conclut, en dilïérentiant la troisième formule (I, 408 ;, après avoir pris lo logarithme des deux membres,

cosxi/r i /' * a ( c* — e— ) cos y dr J0 a’ + x1 ~4aJo e* — îcos v e—

Mais on déduit de (I, 386)

<r* — e em — 7. co a y <?

— = ! -f* 2tf"^C0S/ H- a*-*- C0S2/+ ae"" cos3/-t- .

d’ailleurs

et par conséquent enfin (75)

co$n/eos/iÿ' = o,

Jela

eos’j- dy — k,

cos xdx r.