LIVRE PREMIER. - INTÉG HALES DÉFINIES ET INDÉFINIES
sente plus de difficulté et l’on a
et ces deux intégrales augmentent toutes deux sans limites lorsque t tend vers zéro.
En général, si Ton désigne par a un nombre compris entre les limites a et b% on a
jrth * /»•
f f(x)dx = / <?(x)dx -h ?{x)dx,
et on le vérifie aisément, car en nommant F(x) la fonction primitive de y{x)dx, on a
f <t(x)dx~ F(i) — F(n),
( x ) dx — F ( b ) —
Mais la formule devient fausse lorsque, F(«j étant infini, les deux intégrales partielles deviennent infinies, et les expressions considérées ne présentent plus alors aucun sens déterminé.
On a par exemple, comme on le vérifie aisément par la différentiation,
dx i i ■ -4- x
On en conclurait, d'après la formule générale.
dx
résultat évidemment absurde et qui s’explique parce que la différentielle - — — étant infinie pour x = i, la formule d’intégration n’est pas ici applicable.
Intégrales que l'on obtient immédiatement.
5. I.a moindre habitude du calcul suggère immédiatement les intégrales de certaines différentielles. Citons par exemple les formules suivantes, qui sont toutes
évidentes et dans lesquelles nous nous dispenserons d’ajouter an second membre
la constante qui doit le compléter :
,r~ dx =
dx J
rosmxdx =
sin mx dx =
= — / ros x.
J’ tang xdx — J
f eot xdx = f C0SJ^J~ — i sjnx J J sin j-
i* dx
/dx
r dx J eos‘x ~
/dx sin’ x
sin.rrf.r
COS.f
: — arc sin x.
- arc tang.r.
langx,
• eot r.
On pourrait à ces exemples en joindre beaucoup d'autres, mais nous nous bornons ici aux cas les plus simples.
6. Nous ferons une seule remarque sur l’une des formules qui précèdent : on a, quel que soit m,
(i) fx-,/x=r — •
J ni- 1- i
Le cas où m=. — i fait exception; on a alors
dx
cl la formule (i) donnerait
il est aisé cependant de déduire de la formule <'i) la valeur de f On sait qu’il est permis d’ajouter au second membre une constante arbitraire: clioisissons-la de
