LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DEFINIES ET INDÉFINIES

216. 11 est important de signaler une difficulté que laisse subsister la démonstration précédente et qui explique certaines anomalies que l’on rencontre dans l’application du théorème.

La fonction

a pour limite, quelle que soit la valeur attribuée à x, la dérivée J mais il

peut arriver qu’il chaque valeur de Aa correspondent des valeurs de a: assez grandes pour que la différence entre la fonction (4) et sa limite soit aussi grande qu'on le voudra. Soit, par exemple.

Jr* rnsxx ,

dx.

On trouverait, en appliquant la formule (3),

du

du i x sln xx ^

dx J0 i-t-x’

d’n P™ x1 cas ax .

^•=-j0 ~T+*rdx’

et serait par conséquent indéterminé, puisque, pour une valeur infinie de .r, la fonction r est évidemment indéterminée. Le théorème est donc en défaut,

et cela lient à ce que, quoique petit que soit A «, la différence

sinfat -t- A*)x — sinxx

x — ! x ’ cosax. ,

peut, pour certaines valeurs de x, devenir aussi grande qu’on le voudra, quoique, pour toute valeur de x, elle tende vers zéro avec Aa.

217. Lorsque les limites a et b dépendent du paramètre a, la règle de différentiation est moins simple. Posons encore

u — f ?(•*» a)da.

Si l’on attribue a a l’accroissement A a, a et b se changent en a 4- A a et en b -p- âb.