LIVRE PREMIER . - INTÉGRALES DÉFÎMES ET INDÉFINIES

(elle sorte que celui-ci s’annule pour une valeur déterminée de x, x — a : on est assuré alors qu'il ne peut plus deveuir infini. On a

et si l’on fait tendre m vers — i, l’intégrale prend la forme jj» mais la véritable valeur (I, 451) est Lr.

Différentes mél/utdes d' intégration.

7. Lorsque la seule inspection d’une différentielle n’en fait pas connaître l’intégrale, on doit pour la trouver recourir à des artifices dont le choix est suggéré par l’habitude du calcul, mais qui, dans le plus grand nombre des cas, se rattachent à un petit nombre de principes simples qu'il importe de connaître.

8. Une première méthode, celle d'intégration par décomposition, consiste à partager la différentielle considérée en plusieurs autres plus simples dont on réunit ensuite les intégrales.

Celte méthode se justifie d’elle-méme : nous aurons à en faire de nombreuses applications; bornons-nous à donner ici quelques exemples simples.

On a

f Jl±±'dx^ \'-x,h -F- /%£= --V-

J V 1 — x J — x‘ J yi — x1 V1 — ■*’

/, , /’i-t-cosr.x , g tir i g , .ri

cos2xdx = J - dx= J — t- - j cossxtlx = - + ^

[' t Lr g tir g tir

I — = I ri — - — — Uingjr — cotjr.

I sin’xcos’.r J sin'jr I cos' x

x ’ -t- arcsinx.

smax.

9. Une autre méthode, dite d'intégration par substitution, consiste à exprimer la différentielle proposée à l’aide d’une variable nouvelle choisie de manière à en simplifier l’expression.

Soit y{x)dæ la différentielle donnée. Posons x =/(s), z étant la variable que l’on veut substituer à x; on aura

’lx —J’(z)dz,

et si l’on peut intégrer .f{s)\f {*) dz, en remplaçant dans le résultat ; par sa valeur en x, on obtiendra l’intégrale de çfx tlx. La différentielle d’une fonc-

tioo reste la même en effet, quelle que soit la variable à l'aide de laquelle ou l'exprime.

Nous nous bornerons ici, pour cette méthode comme pour la précédente, à en indiquer quelques applications choisies parmi les plus simples.

En posant i + fr = :, on a

En posant x = cos:, on a

et par conséquent (8

x'Jx

— — cos1: il:.

x'ilx

COS* Z itz

z i i x yt — x-

-* si» ai — arc cos.r

Si Ton pose c* = y, on a

C dx C dy

J = J 7+ÿ> = arc Uu<5r= »rc lang e-.

10. Les deux méthodes précédentes peuvent souvent être réunies et successivement appliquées à la recherche d’une même intégrale.

Considérons par exemple la différentielle

tlx