LIVRE PREMIER. - INTfidR M ES DÉFÎMES ET INDÉFINIES

• Cas remarquable, H' exception .

225. Il finit loujoûrs H) excepter le cas où les différentielles que l'on intègre passent par l'infini dans l'étendue des intégrations. I.es intégrales, dans ce cas, n'ont pas toujours de signification déterminée, ci les théorèmes dans lesquels elles figurent, n'étant pas suffisamment démontrés, peuvent conduire à des contradictions.

An n'a pas, par exemple.

(x'-x')dx f' .

parce que, pour a = o, l’intégrale

devient

'Jx

-jT5-

I. 'application pure et simple des règles ordinaires aux deux membres de l'équation (i) donne en effet un résultat absurde. On a

( a’ - - x' ) rfx .»•

)dx

et

J. émJ. 1 .

On trouverait de même

,!x I . £ r’ Ha = - “•

Jn ( x- -4- x‘ )’ a

et les deux membres de fi) sont par conséquent inégaux.

226. Réciproquement, si en renversant l'ordre des intégrations d’une intégrale double on obtient deux valeurs différentes, on peut affirmer que la fonction intégrée devient infinie pour des valeurs des variables comprises dans les limites de lu double intégration.

Gauss s'est servi très-ingénieusement de celle remarque pour prouver que toute équation algébrique à coefficients réels admet une racine de la forme a 4- A \ — t . Soit l’équation

r — p rosw-l V — isiiiii .

Le premier membre deviendra

où

P — s"fosm« -t- A, p“-1 cos( tu — i ) '•> 4- . ... -t- A . . y = |>“siu mu 4- A, s*-' sinfin — i )«* 4- . . . 4- A. . p >in m.

Posons

A arc tanij

dX

dX

do

V do,

oÿ-’g

et la dérivée ■ a pour dénominateur (Pa4- QJj*. Si donc nous prouvons quelle devient infinie, P et Q devront s’annuler en même temps, et l'équation aura une racine.

Écrivons l’équation

lo Jo d? <*'■' J O J C “P "W

qui est exacte nécessairement, quel que soit R (223 y, pourvu que ^ ^ ■ ne devienne pas infini. Nous allons calculer les deux membres en supposant la valeur de R très-grande, et nous verrons qu'ils sont inégaux.

On a

J rfpr/M ,il '

Si l’on remplace '4 par /.éro et par u~, les valeurs de sont égales; par conséquent, quel que soit R, le premier membre de (3) est égal à zéro. Calculons le second membre. ' '

On a