I -, — dû — — * 1 ■ ■ , ■ — , — — m

J apd'.> K" ; cos’niM + sin’nif.i

et, par conséquent.

I ri>. i I -. — dp — — a-m.

Les deux membres do f 3 i sont donc inégaux et il faut en conclure que -!■ ^

p ' rit, ri U,

devient infini; que. par conséquent, P et Q deviennent nuis en même temps et que l'équation (a) a au moins une racine.

Intégrales déduites de la différentiation sous le signe j • ■ ■

227, La différentiation d'une intégrale définie par rapport à un paramètre qu'elle contient permet d'obtenir des formules nouvelles dont la détermination directe serait quelquefois moins facile.

On a, par exemple,

• / e "* rix ss - •

Jo "

On en déduit, en différentianl n fois de suite par rapport à a.

formule déjà obtenue.

La formule

/ e**Vjr= »

donne de même, par la différentiation n fois répétée par rapport à a,

(a) I 1 dx * T V'-.

1ÎMI

On a (182)

I r~'' cos-> h xilr ÿsH'.

On en déduit, en différentiant par rapport a X.

{ 3 } J cm r4x siu dx ~ X v ~ e-** »

et, en différentiant de nouveau n lois de suite,

(4) j c~*' xm+' sin | ^ tr ) dx =

Si Ton fait, par exemple, // = i , X* = i ,

(5) I «-*' r* ros-jx r/jr — —

Jo 4 «

v - (h ke ■ 4 1 dl, *