LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DEFIMES ET INDEFINIES

11. La méthode dite A' intégration par partie est fondée sur la formule

duv = iii/v + vdu,

ilont on déduit évidemment

nv = j'itt/v 4- j vdu.

Ç ’tdv “ nv — Jvdn.

Si donc, on sait intégrer la différentielle vdu, on pourra, par cela même, intégrer ««/«•.Une différentielle étant donnée, on pourra parconséquent, pour la transformer, la décomposer en deux facteurs dont l’un soit intégrable immédiatement, et, après l’avoir mise ainsi sous la forme udv, on appliquera la formule (i) qui ramènera la détermination à celle de l’intégrale de vdu. L’habileté du calculateur consiste b choisir de la manière la plus avantageuse les deux facteurs dans lesquels il décompose la différentielle donnée.

Nous nous bornerons, comme nous l’avons fait pour les méthodes précédentes, si donner ici quelques exemples.

Soit à chercher

x' Ir i/.r .

Posons

la formule fi) donne

.r’ dx = d = dv

tx — H,

Soit encore à chercher

la formule (i) donne

I x arc sin.r rf.r.

rdx — d — = dv9 a

a rc sinx = u.

/x* /* x*dx

xdx arc sim = — arc sin x — I —

ï. Cote. înt.

c’est-à-dire (9)

I xdx r arr sinx = — arr sin.r -t -i arr rosx — % \^i — x-.

Considérons enfiu l'intégrale

/' xr1 f/x

(i -+- xy \ 1 + x)

xe* — #4,

la formule fi) donne

C xr1 <lx xe* Ci. — xe*