I -, r ” 1- I dxe

12. On peut généraliser de la manière suivante le procédé d’intégration par partie. Supposons que dans une fonction çfx) de la variahle x on remplace d’une manière arbitraire celte lettre x par l’une ou l’autre des lettres x' et x", de manière à transformer ç>(x) en une fonction f(af, x"] qui reprendra la forme primitive ÿ(x) lorsqu’on supposera x' = x"x=x,...; l’introduction des lettres x' et x" peut être faite d’ailleurs d’une manière entièrement arbitraire. On aura

(a) J <f(x)dx— J /(*', x“)dx'— j dx [jjïf /(x'. x') (/x^ •

La première intégration indiquée dans le second membre est relative à x' seulement, et l'on y traite x" comme une constante; quaut à la seconde, il faut d’abord,

pour l’effectuer, former J /(x', x") dx’ en considérant .r" comme une constante,

prendre la dérivée du résultat par rapport à .r" et remplacer ensuite x' et x" tous deux par x avant d’intégrer par rapport à cette lettre.

Il est bien entendu d’ailleurs que dans la première intégrale x' et x", après l’opération, sont tous deux remplacés par x.

Pour démontrer ce théorème, il suffit de prouver que les deux membres de l’équation (a) ont même dérivée par rapport à x; la dérivée du premier est 0 .r). Pour calculer celle du second, remarquons d’abord que l’intégrale

f /(x'.x')rfx',

dans laquelle on fait après l’intégration x' = x“ = x, peut être regardée comme une fonction de x' et de x", qui l’une et l’autre ont leur dérivée par rapport à x

LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, égale à l'unité; on a donc

5 / f (*'<*’ )<**'= & f 'f(x\x")dx' + /(X', x’)dx'

= /(*’. x") +£^f ’/(*', x’)dx\ .

.r' et x" devant toujours être remplacés par .r; mais la dérivée du second ternie du second membre de (a) est précisément

et par conséquent la dérivée du second membre de (a) se réduit à f(x',x”), c’est-à-dire à ç (x).

13. On peut simplifier l’expression écrite du théorème en convenant de ne distinguer les lettres x‘ et x" de la lettre .r qu’elles remplacent que dans les opérations relatives à .r' seul ou à x"seul, et se dispenser alors d’indiquer qu’on doit dans le résultat remplacer x‘ et x “ par x.

La formule (a) s’écrira ainsi

(3) * J' f(x\xm)dx = j'f(x’,x’)dx’ —j’dxjptf f{x',x")ilx’\,

si l’on suppose

P étant la dérivée d’une fonction désignée par F, la formule ne diffère pas de celle qui indique l’inlégralion par partie.

Oueh/ues sommations réduites a des intégrales .