L’intrgrale

X*sin«j .

y a- <ix

sm.r

se présente dans plusieurs théories importantes, et la limite vers laquelle elle tend

IJVnE PREMIER. - INTÉGRALES DEFIMES ET INDÉFINIES. Îi9

lorsqùe a. augmente indéfiniment est remarquable à la fois par sa loi me simple et par les conséquences qui s’en déduisent. .

Si l’on pose aie = v, l’inlégrale proposée devient

■ • /•*»( sj*?*. ■ . :.v

Jo x tfln •-

- , st .

'/ augmentant indéfiniment» on peut remplacer sin par ^ et ?('~x) par s fo \ el l'expression devient ainsi

/ *'” o o sin v</>‘ C

La démonstration précédente est loin d’étre rigoureuse. Pour qu’il soit permis en effet de remplacer sin par il faut que l’arc i soit très-petit, et, comme y

varie entre les limites.zéro et aA, ~ prend toutes les valeurs comprises entre zéro et h. En ne considérant que les éléments pour lesquels il est très-petit, on supprime une partie de l’intégrale sans avoir nullement prouvé qu’elle soit négligeable. La substitution de f o) h ?('^| repose sur une méprise toute semblable, et la démonstration, réduite aux termes simples adoptés plus haut, n’a par conséquent aucune force.

Le résultat est exact pourtant, pourvu que A ne sut passe pas ^ Supposons d’abord avec Dirichlet, qui le premier a démontré ce théoième en toute rigueur, que la fonction ç (x) soit continue, finie et constamment décroissante entre les limites de l’intégration.

Partageons l'intégrale proposée

. i5F’UP'*f-;

en plusieurs autres prises entre les limites zéro et - ■> - et — •• — et ’• .

1 1 at x a # . a x 7l

et A; rr' étant le plus grand multiple de - contenu dans A, on aura évidemment

, / * sin’k.r , / sm«r . , / sinar .

5n I -j x ax — I - - - - o x ax -f- I - . — v x dx -x ■

sinx r sinx T J smx

/•* sin xx . i *Sin»x ,

- / — - a, .r </xHr I ï x rfx.

J sinx T f sinx- r

' Les intégrales qui forment les termes «lu second membre sont alternativement positives et négatives, car// étant moindre que et toujours positif par hypothèse, le facteur reste constamment positif, et le signe est celui de sin a.r

qui reste invariable et alternativement positif cl négatif entre les limites de chaque intégrale; ces intégrales, de plus, vont en diminuant, et chaque terme du second membre de (5o) est, en valeur absolue, moindre que le précédent. Considérons, en effet, deux termes consécutifs

^ ni

' * sin a J- ,

— 9 J itr

silix

et

Posons dans le second il deviendra

/' * sinaa- ,

r — - -f- r, oc

în *(*"*" /* r ’ sin a >■ fit \ ,

/ sin ( - +- ri

dr.

oii l’on peut remplacer v par .r, et la proposition devient alors évidente, car les limites sont les mêmes, et la fonction ç ayant été supposée décroissante, pour une même valeur de la variable l’élément de l’intégrale (5a) est plus petit que celui de (5i).

Cela posé, si nous faisons

X* sinax ,

— i O. Xlfl.r = ± H, ,

on aura

/"‘sin**- . " /‘''sinax .

(5! I — ; a r dx = »/,— «, -I- «, — / — Z x dx.

Jo S'»r r Jri Sinx