LIVRE PREMIER. INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

«Il

Uuns b formule

ç x dx

posoos ax = s, nous aurons

sin z I z\ dz

sin al

a augmentant indéfiniment, 9 ( ~ ) a pour limite 9 (o), et a sio “ peut être remplacé par î. Lorsque a augmente indéfiniment, u„ peut donc être remplacé par

et l’erreur commise est une partie infiniment petite de sa valeur.

La somme des n premiers termes de (54) peut être remplacée par

rsin

.in z dz

qui, lorsque n est très-grand, diffère aussi peu que l’on veut de (j 9 o . Quant aux termes suivants

c * sinst-r , .

Jln+.u «n*

comme ils sont alternativement positifs et négatifs, et qu'ils vont en diminuant, leur somme prolongée autant qu'on veut est moindre que le premier d’entre eux, qui étant égal h

/i\sini di

diffère infiniment pçu de

?<■•** ’slnarf* ? o /

et tend vers zéro lorsque n augmente. Il en est de même du dernier terme de ' 54 . et l’integrale considérée a enfin pour limite " 9(0).

23 i DEUXIÈME PARITE. - CALCUL 1NTÊURAL.

28."». Le théorème étant démontré pour une fonction constamment décroissante et positive est vrai, par cela même, pour une d'onction quelconque. Si la fonction ?(x) en effet étant toujours décroissante cesse de rester constamment positive, on pourra trouver une constante C assez grande pour que f, + f'x) soit toujours positive lorsque x varie de zéro à A; le théorème étant vrai pour celte fonction nouvelle ainsi que pour une fonction constante et égale à C l'est, par cela même, pour la fonction décroissante ç (x) quel qu’en soit le signe. Si une fonction j(x) est constamment croissante, — f[x) sera une fonction décroissante à laquelle s'appliquera le théorème qui, évidemment. alors, s’applique aussi à f[x).

Supposons actuellement que la fonction soit constamment croissante ou constamment décroissante entre deux limites g et A de la variable, comprises toutes

deux entre zéro et la limite de l'intégrale

f * sinax

J. slnar

itx

sera nécessairement nulle. Si l’on forme en effet une fonction F(») égale à <f(x) pour les valeurs de x comprises entre g et A et constamment croissante ou constamment décroissante depuis x = o jusqu’à x= A, les deux intégrales

smacr

simr

* sin x.r sinx

V(x)dx,

F(x)dx,

auront la même limite ^ ?(*»), et leur différence est par conséquent nulle.

Si l’on considère enfin une fonction quelconque alternativement croissante et décroissante, on partagera l’intervalle compris entre zéro et A en intervalles pkis petits tels, que dans chacun d’eux la fonction varie dans le même sens, et l'application -îles théorèmes précédents donnera dans tous les cas

.. Ch smax , tï . ,

lim. I * — 7- — e, x dx — -,o o .

.. ,/„ sln.r 1 . 2

286. Il est naturel de se demander ce que devient l’intégrale

■ ÿ JC -i f/l’,

lorsque, a Croissant indéfiniment, A est une constante positive quelconque.

Soitnn le plus grand multiple de r. contenu dans A, l’intégrale proposée est la

1.1 V BK PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, somme de celles-ci

Jr"3 sinzx , r*sinax .

» smx Y' Jua smx Y

Décomposons la première en an autres prises entre les limites zéro et (j et r., it et — -—it et ntt, et dans ces intégrales posons successivement

x — y, x — x — y, xxziz+y, x = as — y,..., x =- un — y.

Les limites relatives à la nouvelle variable v seront alternativement zéro ut - et

zéro, de sorte qu’en changeant le signe de toutes celles d’ordre paie, on pourra les supposer toutes prises entre les limites zéro et ~ De plus, si a. est un nombre entier impair, -* se change en et dx alternativement en •+- dy et en — dy,

en sorte que l’intégrale proposée devient

/‘’sinav,

L su, ylw

+ Ç‘Tt—y)+<f,it+j")-t-... + y{

r"sh

~Jmx Sl

*sln«x

slllx

y ( x } dx.

Le premier terme a pour limite (285 ,

^ (ç(o) -t- açfr) + + . ..+ — i)ît + 9(ni:)].

Quant au second, il devient, en posant x = ntt +y,

— sina r" , , .

Si h — n,t r ne surpasse pas ^ tr, il a pour limite

Si h — ni: est compris entre ^ a et s, on décomposera l’intégrale en deux autres :

l’une prise entre zéro et qui convergera vers f (ntt ), et l’autre prise de ^ tt à I. Cale. tnt. 3o

23t DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

h — ntt, qui devient, en posant y = r. — s.

r~‘ sin*; ,

sin: T

et elle a ( 285 pour limite zéro.

En résumé, on a

-t- 1 ) tt — z J z ,

(56) liin. J ç(j)</je = Tr^?(o)+9(jt)-*-ŸÎa^)-i-... + Ÿ(n —

lorsque a est un nombre entier impair, indéfiniment croissant, nu étant le plus grand multiple de tt inférieur à h.