On a identiquement

C*sinajr , , . /** sinx , , sinax ,

J, —*wdx=Jm —

et comme, pour x = o, la fonction se réduit à-ç(o), on a. en supposant

h plus petit que •

(58) lim. j - — - — <?( x)dx = - 9(0).

La formule s'étend d'ailleurs sans changement à toutes les valeurs de h, parce que la fonction çfx] étant nulle pour x — r., ar=ajr,..., les termes qu’il faut

ajouter en vertu de la formule (Ü7) sont tous égaux à zéro. Si l'on substitue à zéro et h deux limites positives quelconques a et b, l’intégrale

'sinax , , /’^sinaax , , C"sinax , , .

9(x)dx- I — — - ?(x)rfx — I — — — ç>(x)rfx J O do *

a évidemment pour limite zéro, quels que soient a et b. Mais il n'en est plus de même quand ils sont de signes contraires.

Considérons l’intégrale

X" sinaj- , a et b désignant deux nombres positifs, on a

r* sinarx , , /'“sinat.r , , , /’*sinax ,,

J * ?(*)dx=J —j— <f(x)dx + J —^—<f{x)dx.

Mais on a, en posant x = — y,

/“ sinax , . f* sinar , . ,

■ -x -<f[x)dx—j —7 -ç(-r)»r*

Lorsque a augmente indéfiniment, les deux termes de (5(>) ont donc la même limite - ç (o), et par conséquent

f -*-v(x)dx=7if(o

Si les deux limites sont négatives, on verra facilement, en changeant a- en — y, que l’intégrale a pour valeur zéro, et que

„ f*- *sln*x .

Ion. / -f(x)ax — o,

quels que soient les nombres positifs a et b.