O VO
“ ?(“) = f du f
cosmx du ~ L y(o), h
a(x)cosuxdx.
où A désigne un nombre positif quelconque et a un nombre indéfiniment croissant. 290. On peut déduire des résultats précédents, quels que soient la fonction o [x)
LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, et les nombres a et fi, la limite île l’intégrale
(fi»)
J cos lu dit I o{x)cosmx dx.
Lorsque a augmenle indélinimenl, elle devient en effet, en changeant l'ordre des intégrations,
/■* , , . T* „ , i f’*sina(.r — /) , * /’*sin*(x-M) , . .
I o(x)dx I cos iix ros iiti/li— - I - ç{.r ; dx+ - I — - <ptx)dx,
ou, en posant dans la première intégrale x — / = s, et dans la seconde .t h- / = ;,
i /•‘-'sinon: , . /** * ' Sim
Lorsque a augmente indéfiniment, la limite de chacune de ces intégrales nous est connue; mais il importe de distinguer plusieurs cas.
Les deux intégrales (fia) sont nulles lorsque les deux limites sont de même signe, et, dans le cas contraire, il suffit, pour les obtenir, de multiplier n par la valeur que prend la fonction ç lorsqu'on y fait z — o. ,
Si donc a et fi sont positifs et que l soit compris entre eux, on aura
(63) - ç(r) = lim. Ç cos tu du Ç <p(x) cosux dx = I cos Indu I y x ) cos ux dx,
® do J a ,0
ot si t n'est pas compris entre a et fi, on a
o— J cos lu du I <?'.x )cosnx dx.
Si l’on suppose a = t, la première des intégrales (fia) se réduit à et l’on a
r • r* rl
j 9 / — ! cos lu du I o x c osuxdx.
4 ,/« Jt
Les limites a el fi dans la formule (G3) étant assujetties à la seule condition de comprendre t entre elles, on peut, en supposant toujours / positif, les remplacer par zéro et », et l’on a
(65) ~ g ' / ) — J cos lu du j g x casuxdx.
Soit par exemple ç (a;) = e'", nous aurons
mais
donc
cos tu du
cos M.r dx;
rosier dx — ;
a’ + li*
a Cils tu du a‘ -+- u' ’
formule déjà obtenue ''203).
291. Des considérations toutes semblables aux précédentes fournissent la limite de l’intégrale
I s\ntudu I ç(i-)sin uxdx,
lorsque a augmente indéfiniment*. Elle devient en effet, en changeant l’ordre des intégrations,
sin/K slnuar rf«.
et, en remplaçant le produit des deux sinus par la différence de deux cosinus, on voit que l’expression ne diffère de (62) que par le signe de la seconde intégrale, qui est nulle lorsque a, b et t sont positifs. On a donc, en supposant toujours t compris entre a cl b.
-o(<)= / sin ludu I f(x'j
%} o va
sin «.r <ix%
et, en prenant a = o, b = * ,
sin tu du
sin «x dx.
Les différentielles intégrées dans les formules (65) et (67) sont évidemment des fonctions paires de u; en étendant à — » et » les intégrations relatives à ces
LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES, variables, le résultat sera par conséquent doublé. On a ainsi
in
rc?(0= / cos tu du
*9 (l)=f siu tu du J — x «
et ces formules supposent seulement t positif.
Si l'on remplace f{x), qui est une fonction arbitraire de x, par x), on aura
Xse /»» />» /» o
cosludu I 9(— x) cosux dx = — I cos Indu I 9(x)cos uxdx,
s[9(/)— 9(— /)J= / cosludu I <ji[x)cosuxdx— I I 9(x) Costa costix du dx. Ou trouvera de même, en partant de la formule (Gy),
