LIVRE PREMIER. — INTÉf.RAI-ES DÉFINIES ET INDÉFINIES, Î
En y faisant successivement x = i et x = — i et remplaçant le premier membre par sa vraie valeur n, on trouve
n=(asin“) (a sin — \ •• ■ (a sin — — —) »
\ an/ \ 2 n] \ 2 n /
« = ( 2 cos — - ) l a cos J " ) • • ■ (2 cos ” — 1 ) ,
v an/ \ an/ ' an /
et en multipliant ces deux équations membre à membre et extrayant la racine carrée,
. , e , se .(n — 1 ) Jt
n = 2* ' sin - sin — •••sm — n n n
En déduisant de celte équation le déuominaleur de (5), on trouve
Valeur approchée de T ( n ) lorsque n est très-grand.
298. Nous avons donné (I, U7) la valeur approchée du produit i.a.3... n pour de très-grandes valeurs de n, la formule s'applique, quel que soit n, à la fonction
On a
r n hij= I e~‘x'dx.
Le maximum de e~* x" correspond il la valeur x — n et ou peut poser par conséquent
Aux limites zéro et x de x correspondent les limites — x et x de t, et l’on aura
b»+i) = «,e"‘l e~’' dx.
SC
Il reste à exprimer dx en fonction de t et de dl.
Posons
x -- n -+- fl :
l’équation Gj devient
2ii DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,
et, en prenant les logarithmes,
t' — ~- ni i ■+• 7 4- 0 = 5— , -I- 7— ; —
\ «/ a « An' 4 n
d'où, par la méthode des eoeflicieuts indéterminés.
5 = lya» + Tl>+ — j
par conséquent
et
r/0 = llx — Jt v'a/l | I + ; +■ y. h ■ • -
c’est-à-dire 1 5 1 j
7) f «h- i zzn,-*'e + - ‘ H )t
et à cause de a ,
On pourrait, en poussant plus loin le développement en série, obtenir un plus grand nombre de termes de (8y dont nous obtiendrons plus loin la loi générale.
29U. Cauchy a rattaché élégamment à la formule d’approximation précédente la démonstration d'une formule remarquable qui peut être regardée comme une généralisation de (/|) et qui a lieu rigoureusement pour toute valeur grande ou petite des variables qu’elle renferme. On a, quel que soitx et le nombre entier n,
r.x,r(* + £) r(* + 2j...WjrH- — ?“) ’ »■ n-** T(nx).
Pour démontrer cette formule, écrivons-la sous la forme
L’équation
r nx
montre que le premier membre de (r>) ne varie pas lorsqu’on fait croître x d’une unité; il ne variera donc pas non plus si l'on ajoute à x autant d'unités qu'un
