La formule

f'jr r|jr+ jJ". + njr) «-** an * «'

permet, lorsqu’on y fait croitre n indéfiniment, de calculer l’intégrale

Xj-ei

/ r x ) Jx.

On a en effet (a), en posant ndx—i,

J IT\x dx = lim.i/x j lT\x) -t-/r(4f -I- Jx) + . . . + 1 r[* + (« — i)</x] j, c’est-à-dire

I IV x) dx = lim.i/x /j T x) T{x + Jx + . . .+ TJ-Jf-r- n —

Mais puisque dx = f la formule ( ç> donne

r{*> r(x + </jr). . . r[x + ( » - =r(»w »—(»- ’

par conséquent

IT'x) dx = lim.rfx /T nx -nxtn-i- " ' /arr + ' In •

Mais on a, à cause de ndx— i,

lim. dx n -- /a fr= - /an, a a

lim. - dx In = oj

d'ailleurs, n étant infini,

r (nx) — \fi- e ~" { nx >,

/ = / vas — »x -t- ( nx — ^ / nx,

I T[nx i — nx In — I \ 'an — nx -t- nx Ix — ~ Ix — i In, lim.</-r [/ T[nx) — nx ln) = — x + x Ix,

et par conséquent enfin

(il) J I T(x ) dx = - /an -t- jr Ix — x.

Expression de ]’(«) sous forme de produit infini,