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n’-t-i M’4-a* " an’

dans laquelle on suppose que le nombre n augmente indéfiniment. Posons

la somme devient

[dx ilx ilx tlx T

i -t- ( tlx y + i -+- ( i tlx j1 + ’ ' •-*-[(« — > ) •ix]1 i ( « tlx j’ J

ndx étant pur hypothèse égal à l'unité, la limite de cette somme représente l'intégrale

1" tlx T.

I arc (ang | arc tango =; ■

Cherchons cnlin la limite de la somme

Posons

cette somme devient

tlx ■

tlx

dx

tlx

V i — dx1 V • — ( a dx y — [( « — i j dx j*

et puisque (n — i) dx est comme ndxf égal à l’unité à la limite, celte somme

LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DEFIMES ET INDÉFINIES, représente l'intégrale

r» tl sfi

Jo V > — ’

= arc sm i — arc sin o =

Sur les fonctions hy/tet bvlù/ttcs.

15. Il sera utile d'indiquer, en terminant eu premier Chapitre, la définition de quelques fonctions dont l'usage, sans apporter aucune ressource essentiellement nouvelle, fera ressortir dans diverses occasions des analogies qu'une autre notation laisserait inaperçues.

Oit a trouvé (1, 3ü"

on en conclut

»-*> -• ■+- r*'"1 I cos j — —

| Slll .1 — -- —

cos x V — i =

j , — — tf'M — *r’

[alnxv-i — — 7^-="*

cosx y — i , qui est réel, est appelé souvent le cosinus hyperbolique de x et l’on écrit

eus hjp. x =

■ = COSX- y -

Le produit — 1 si n x \ — i se uomme de même le sinus hyperbolique de x, et l’on a V-i

sm lup. x si — — - = - ■ sm.r y — i .

Le quotient se nomme, par une convention analogue, la tangente hyper-

bolique de x, et l’on a

lang liyp. x: = — — — - — — — laiigx y — i .

Ces définitions, en montrant l’analogie des fonctions nouvelles avec les lignes trigouomélriques, donnent l'explication de leurs principales propriétés. On a par

exemple évidemment, comme on peut d’ailleurs le vérifier directement,

^ cos’ hvp. x — sinJ hyp.x = i,

(G) ■ coshyp. (*-+-y) — COshyp.x coshyp.y-l-slnhyp. xsinhyp.y,

' sin hyp. (x -t-y) = sin hyp. x eos hyp-.r + sin hyp. y coshyp. x.

16. La dénomination de fondions hyperboliques -à son origine dans l’analogie du cercle avec l’hyperbole équilalère. Si l'on considère, en effet, l’hyperbole équilatère dont l'équation est, en coordonnées rectangulaires,

et en coordonnées polaires,

cos a oi

le secleurS, compris entre la courbe et les rayons issus du centre faisant de pari et d’autre avec l’axe l'angle «, a pour différentielle (I, 1 1 1» J

f/S = P'dr.i

t par conséquent (10 ,

- / lang (