I.IVHE l'HEMlKR. — INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

limite i . on »

cos—’O cosu5 r/0 = o.

I ' oos—’O si

0 sin uri iIO —

328. On peut également ramener à la fonetion H />, q), et par conséquent à la fonction T, l'intégrale plus générale

Que l'on pose en effet celle-ci devient

Jo (*+«r>

rv —, <.t dy-,

.'o (o +«jr + «l J

( i 4- a) y — az.

et en posant l’intégrale (a4) devient

“f \> + a) Jn (é+îr ' ■ — «Ml 4- «)*

Si l’on suppose a -t- jS = i , on n

n«)ro-«)

siortîr «—•(< 4- «)*

En posant enfin, dansfaij). .» = cos55, elle devient

. . f ’ eos»- 0 sin’^5 = r(«)r(g) i

1 ‘ (« 4- cos’ 5 J—5 r(«4-|i) «Mi4-«)*

Si l'on remplace a 4- cos5 5 par (a 4- i ; cos5 S 4- a sin* 9 et que l'on pose a 4- 1 = mk, a = nk, m et n étant deux nombres arbitraires, on trouvera

cos'— '5 sin'> ‘9 iffj r(æ) r(|3) i

( m cos’fl 4- n sin1 9 J— l ' 1 f( z 4- p) m*n»

32!t. Nous terminerons ce chapitre en indiquant une méthode très-élégante due

SW DEUXIÈME r,U)TIE. CALCUL INTÉGRAL,

à Cauchy pour le calcul des intégrales de la forme

cosaatar sin”x ^

oii m désigne un nombre enlier et a et a deux nombres arbitraires dont le premier doit être plus petit que m.

En suivant la marche adoptée (253 , mais en ne supposant plus que l'exposant de j soit entier, on remplacera par la valeur

L'intégrale ( 29} devient par suite

(3o) trr~ — : / eoss«4rsin“xrfr / e-“zm(lz

— — I z’ilz I e '1 rns»a.r sin".r rf.r.

1 irt-t-i)

Mais on a (220), lorsque m est pair,

cos^a-r sin".r — — - ATosj?* — m)x,

et, lorsque m est impair,

cosaajr sin“x — - — ' — A’ statua — m ! -r, om

la dittérence étant prise par rapport à ce et correspondant à un accroissement égal à l'unité.

On peut, d’après cela, remplacer la formule (3o) par l’expression équivalente

{ 3 1 ) — — I s* riz I e~“ 3* cos(a* — /» ) xtlx

si m est pair, et

(3aJ - , I z’ilz I e~’ A"sin(aa — m)xitx

si m est impair.