UVRK PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES
Si dans les deux membres de celle équation, qui doit être identique, on suppose x = a, tous les termes du second membre disparaissent à l’exception du premier qui se réduit à A y’ (a), et l’on a
Ff») ~ Ay'(rt):
donc
Un aura de meme
et ces valeurs rendent l'équation (a) identique, car les deux membres qui sont des polynômes entiers en x, de degré n — i au plus, sont égaux pour n valeurs de la variable.
Si a et b sont deux racines imaginaires conjuguées a ■+■ — i et n — p \J— i .
les formules (4) donnent pour A et B des expressions imaginaires conjuguées P + Q V — i et P — Q V — > i , et la somme des deux fractions correspondantes est
JL+.9 + ■’ -Q jEL - - »> -*QP
20. La méthode est évidemment en défaut lorsque l’équation y(x) — o admet des racines multiples, et la forme (i) devient impossible: car en supposant, par exemple, la racine a multiple, le second membre de (a deviendrait nul pour x= a, tandis que le premier se réduit à F{n) qui est différent de zéro. Soit p le degré de multiplicité de la racine a, et
on posera
y(x) = (x — a)fi)/(x),
y(x) x—a (x— a)1 *" ' [x — ay q» ( jt)
Pour déterminer A,. A- A,, en multipliant les deux membres par y(x), nous
aurons
(6) F(x) = A, q<x)(x — «)e— • j A,ij/(x)(x — n)r-’ + . . . •+- A,q{x) F,{x)(x — a)'.
En faisant x = a dans l'équation (6) et dans les (p — i) premières dérivées, on formera p équations du premier degré dont la première fera connaître \r la
seconde A, et la dernière enfin A,. La méthode s'applique au cas où la racine
est imaginaire, mais il est plus simple, dans ce cas, de chercher directement les L Calr. int. 3
IR
fractions simples qui correspondent aux deux racines conjuguées. Si l'on suppose
Ç(jr) = i(* - «.*+ (3']f
on posera
7 ÿ(x) " (x— a)r-t- 'fi1 ~ |.x — «J'4- 'fi')1 + h f(x'— «)'+ p')' + +(xj
En multipliant par ç .r les deux membres de cette équation, on a •
(8) F(x) = ( A,x -c B,) ■j>(xi|;x — x)!-t- 'fi'\r ’ + ( A,i+ B,’ ^(x)((x — aj’4- . . .
+ (A^x -l- Bf ) ’ji(x) + F, : x)[(x — *)’+ p,]r,
et les coefficients A(„ B,,. Ar B, A,, B, se détermineront successivement
en faisant x — «4- jS y — i dan* l’équation (8) et dans les p— i premières dérivées et égalant les parties réelles des deux membres et leurs parties imaginaires.
On peut d’ailleurs, pour effectuer la décomposition d’une fraction rationnelle en fraction simple, employer plusieurs méthodes qu’il est inutile d’exposer ici; bornons-nous à rappeler celle qui est fondée sur le calcul des résidus qui a été indiquée (I, 441 J.
21 . L’intégration des fractions rationnelles se trouve réduite, par ce qui précède, à celle de quatre différentielles plus simples. On a
fh*L=Kl (x-„).
J” Ailx i A
Ces deux formules sont évidentes, et les différentielles qui y figurent sont du nombre de celles qui s’intégrent directement.
Pour intégrer la troisième fraction type
on aura
Ar + B
x—xf + p
, dx .
dx — Jz ,
Ar + B . A s -f- A a -+- Il , A :d: fAa-l-B)rfî
■ dx — — dz- ■+ — -
[x—aj+fi- î’-t-£' z- + fi‘ * + fi‘
