INTÉGRALES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES
Définitions.
331. L'introduciion des expressions imaginaires dans le calcul intégral est déjà fort ancienne. Euler et Laplace, invoquant seulement la généralité de l’analyse, ont souvent remplacé par des valeurs imaginaires des constantes supposées d’abord réelles, et obtenu ainsi des formules importantes dont la démonstration plus rigoureuse n’était pas parfois sans difficulté. Nous avons rencontré déjà (326) et (240) quelques exemples de ce genre de considérations, en les présentant seulement comme un précieux moyen d’induction. Cette théorie n'a pris une forme rigoureuse que depuis les travaux de Cauchy, où, pour la première fois, le sens précis des intégrales imaginaires a été nettement fixé.
L'extension pure et simple de la définition des intégrales réelles au cas des fonctions et des limites imaginaires conduirait très-souvent à un résultat mal déterminé.
Si l’on pose en ellèt, comme définition.
f ç'fîjrfa = y(c 4- d f— 1)~ t (o ■+■ * V~ • it
le second membre de cetle formule représentera en général plusieurs expressions distinctes, enlre lesquelles rien n’indique la manière de choisir. On a vu (I, 373) que la plupart des fonctions imaginaires ont, en effet, plusieurs valeurs différentes, qui ne peuvent être distinguées qu’en faisant croître la variable d’une manière continue et suivant une loi déterminée.
Ecrivons par exemple
/c-t-rf y1 — i /
— =l(c + dx‘-i) — l(a + bf-i);
chacun des logarithmes qui forment le second membre est indéterminé, et l'on peut ajouter à l’intégrale, définie de celte manière, un multiple arbitraire de
ittt
air V— i. Une remarque semblable s'applique à l’équalion
I — ~ = \c-t-d V— i — Va -+- 0\ — 1 .
+ av-
dont le second membre représente quatre valeurs entre lesquelles on reste indécis. L’indétermination, il est vrai, ne se présente pas toujours. On a, par exemple,
• d-t-Ay1—*
^ * — .V , ' — il ___ gmt riy' — |1 I
et le second membre est parfaitement déterminé; mais de tels cas sont exceptionnels, et une définition générale et précise est indispensable.
332. Poisson, dans un Mémoire publié en i H 1 1, avait rencontré cette difficulté et fait un pas vers la solution. En appliquant à l’intégrale définie
dx
JC’
la formule générale qui sert de définition, il avait trouvé
(lx
et cependant l'élément — est constamment positif!
La même difficulté se présente pour toulc intégrale de la forme | i dans la-
/"*■' ilr
■ ' , les éléments passent,
dit- il, du positif au négatif et les parties inlinies peuvent se détruire; mais alors il semblerait que l'intégrale devrait être nulle, el, au contraire, elle est égale à la quantité imaginaire /( — i); ce logarithme a, comme on sait, une infinité de valeurs comprises sous la forme (an + ij ir > — 1 • «étant un nombre entier positif ou négatif, et it représentant toujours le rapport de' la circonférence au diamètre. On ne voit pas d’abord, dit Poisson, comment la somme des éléments qui sont tous réels peut avoir plusieurs valeurs, et encore moins comment ces valeurs sont imaginaires.
Nous avons rencontré la même difficulté (4j, et pour l'écarter, il uous a suffi de remarquer que la définition des intégrales définies considérées comme sommes de leurs éléments, suppose essentiellement que ceux-ci ne deviennent pas infinis.
